X 권
목차
같은 단위로 측정 할 수 있는 수들은 ‘같은 단위로 측정할 수 있다(commensurable)’라고 한다. 같은 단위로 측정 할 수 없는 수들은 ‘같은 단위로 측정할 수 없다(incommensurable)’라고 한다.
어떤 선분들로 정사각형 넓이를 같은 넓이 단위로 측정할 수 있으면, 그 선분들로 만든 정사각형들을 ‘같이 단위로 측정할 수 있다.’라 한다. 어떤 선분들로 만든 정사각형 넓이를 같은 넓이 단위로 측정할 수 없으면, 그 선분들로 만든 정사각형을 ‘같은 단위로 측정할 수 없다.’라 한다.
위의 가정들로 부터, 어떤 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분들이 무수히 많으며, 같은 단위로 측정할 수 없는 선분이 무수히 많음을 보일 수 있다. 또한 어떤 주어진 선분과 길이만 같은 단위로 측정할 수 없는 선분들, 길이와 이들로 만든 정사각형 넓이 둘 다 같은 단위로 측정할 수 없는 선분들이 각각 무수히 많다.
어떤 주어진 선분의 길이가 유리수라고 하자. 그러면 선분과 길이 또는 이들로 만든 정사각형들의 넓이를 같은 단위로 측정할 수 있는 선분들의 길이를 ‘유리수’라고 한다. 같은 단위로 측정할 수 없는 선분들은 ‘무리수’라 한다.
어떤 선분으로 만든 정사각형의 넓이가 유리수라고 하자. 그러면 이 수와 넓이를 같은 단위로 측정할 수 있는 수들은 유리수이다. 이 수와 같은 단위로 측정할 수 없는 수들은 무리수이다.
어떤 선분으로 만든 정사각형의 넓이가 무리수리면, 그 선분은 무리수이다. 즉, 그 넓이가 정사각형으로 주어진 경우는 그 정사각형을 만드는 변, 넓이가 일반적인 다각형으로 주어진 경우는 그 것과 넓이가 같은 정사각형을 만드는 변은 무리수이다.
두 개의 크기가 다른 수가 있다. 큰 수에서 자신의 절반 보다 큰 수를 빼고, 남은 수에서 다시 절반 보다 큰 수 빼기를 반복한다. 그러면 처음 주어진 작은 수 보다 더 작은 수로 만들 수 있다.
\(\overline{\rm AB}>c\)인 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(c\)가 있다. \(\frac{\overline{\rm AB}}2\) 보다 큰 수를 빼고, 남은 수에서 다시 절반보다 큰 수 빼기를 반복한다. 그러면 수 \(c\) 보다 작은 수를 만들 수 있다.
수의 절반을 반복해서 뺄 때에도 이 명제가 성립한다.
크기가 다른 두 수에 대하여, 큰 수에서 작은 수를 빼고 남은 수를 만들고, 이전 작은 수는 큰 수이고 남은 수는 작은 수인데 큰 수에서 작은 수를 빼는 과정을 반복하자. 최종적으로 남은 수가 이전 수를 같은 단위로 측정하지 못한다고 하자. 그러면 처음 두 수는 같은 단위로 측정하지 못한다.
\(\overline{\rm AB}< \overline{\rm CD}\)인 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)에 대하여, 큰 수 \(\overline{\rm CD}\)에서 작은 수 \(\overline{\rm AB}\)를 빼고 남은 수를 만들고, 이전 작은 수는 큰 수이고 남은 수는 작은 수인데 큰 수에서 작은 수를 빼는 과정을 반복하자. 최종적으로 남은 수가 이전 수를 같은 단위로 측정하지 못한다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
같은 단위로 측정할 수 있는 두 수에 대하여, 이 두 수의 최대공약수를 구할 수 있다.
같은 단위로 측정할 수 있는 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)에 대하여, 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)의 최대공약수를 구할 수 있다.
같은 단위로 측정할 수 있는 세 수의 최대공약수를 구할 수 있다.
같은 단위로 측정할 수 있는 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)가 있다. 그러면 \(a\), \(b\), \(c\)의 최대공약수를 구할 수 있다.
같은 단위로 측정 할 수 있는 수들의 비는 어떤 두 수의 비와 같다.
같은 단위로 측정 할 수 있는 수 \(a\), \(b\)가 있다고 하자. 그러면 \(a:b=d:e\)인 수 \(d\), \(e\)가 존재한다.
두 수의 비가 어떤 두 수의 비와 같으면 그 두 수들은 같은 단위로 측정할 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a:b=d:e\)인 수 \(d\), \(e\)가 존재한다고 하자. 그러면 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
같은 단위로 측정할 수 없는 두 수의 비는 어떤 두 수의 비와 같을 수 없다.
두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 비 \(a:b\)와 같은 비를 갖는 어떤 두 수가 존재하지 않는다.
두 수의 비가 어떤 두 수의 비와 같지 않다고 하자. 그러면 그 두 수는 같은 단위로 측정할 수 없다.
두 수 \(a\), \(b\)의 비 \(a:b\)가 어떤 두 수의 비와 같지 않다고 하자. 그러면 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 비는 선분 길이의 제곱비와 같다. 그리고 정사각형 넓이의 비가 어떤 두 제곱수의 비와 같으면 그 두 변의 길이는 같은 단위로 측정할 수 있다.
같은 단위로 측정할 수 없는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 비는 선분 길이의 제곱비와 같지 않다. 그리고 정사각형 넓이의 비가 어떤 두 제곱수의 비와 같지 않으면 그 두 변의 길이는 같은 단위로 측정할 수 없다.
두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 (한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이) 어떤 두 수의 제곱비이다. 그리고 (한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이) \(= c^2:d^2\)이라 하자. 그러면 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 (한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이)는 어떤 두 제곱수의 비와 같지 않다. 그리고 (한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이)는 어떤 두 제곱수의 비와 같지 않다고 하자. 그러면 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
지금까지의 증명에서, 같은 단위로 측정할 수 있는 두 수를 길이로 갖는 선분들로 만든 정사각형들의 넓이도 같은 단위로 측정할 수 있지만, 정사각형들의 넓이가 같은 단위로 측정할 수 있다고 해서 정사각형의 한 변의 길이들이 반드시 같은 단위로 측정할 수 있는 것은 아니다.
수론에서, 닮은 평면수들의 비는 두 제곱수의 비와 같음을 보였다. [VIII권 명제 26] 그리고 두 수의 비율이 두 제곱수의 비이면 그 두 수는 닮은 평면수들이다, [VIII권 명제 26의 역]
이 명제들에서, 닮은 평면수들이 아닌 수들 즉, 변들이 서로 비례 하지 않는 수들은 그 비가 두 제곱수의 비와 같지 않다. 왜냐하면 만약 비가 같다고 하면 그 수들은 닮은 평면수들인데 이것은 가정에 모순이다. 그러므로 닮은 평면수들이 아닌 수들 즉, 변들이 서로 비례 하지 않는 수들은 그 비가 두 제곱수의 비와 같지 않다.
어떤 선분에 대하여 그 선분과 길이만을 같은 단위로 측정할 수 없는 선분이 존재한다. 또한 길이뿐만 아니라 그들로 만들어진 정사각형 넓이도 같은 단위로 측정할 수 없는 선분도 존재한다.
길이가 \(a\)인 선분가 있다고 하자. 길이 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 길이를 갖는 선분이 존재한다. 또한 길이뿐만 아니라 그 길이를 갖는 선분으로 만들어진 정사각형 넓이가 한 변의 길이가 \(a\)인 정사각형 넓이와 같은 단위로 측정할 수 없다.
네 개의 수들이 서로 비례하고 첫 번째 수와 두 번째 수가 같은 단위로 측정할 수 있으면, 세 번째 수와 네 번째 수도 같은 단위로 측정할 수 있다. 그리고 첫 번째 수와 두 번째 수를 같은 단위로 측정할 수 없으면, 세 번째 수와 네 번째 수도 같은 단위로 측정할 수 없다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)가 \(a:b=c:d\)를 만족한다. \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(c\), \(d\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. 그리고 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 \(c\), \(d\)도 같은 단위로 측정할 수 없다.
어떤 두 수가 각각 다른 어떤 수와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 어떤 두 수도 같은 단위로 측정할 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)는 수 \(c\)와 각각 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면 \(a\), \(b\)도 같은 단위로 측정할 수 있다.
두 수는 같은 단위로 측정할 수 있으며, 그 중 한 수가 다른 어떤 수와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러면 나머지 수도 다른 어떤 수와 같은 단위로 측정할 수 없다.
두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있고, 수 \(a\)와 수 \(c\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 수 \(b\)와 수 \(c\)도 같은 단위로 측정할 수 없다.
길이가 다른 두 선분에 대하여, 긴 선분으로 만든 정사각형 넓이와 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이의 차이만큼 어떤 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같게 만들 수 있다.
\(\overline{\rm AB}>c\)인 직선 \(\rm AB\), 수 \(c\)에 대하여, 어떤 선분으로 만든 정사각형 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2-c^2\)과 같은 어떤 선분이 존재한다.
네 수가 서로 비례 한다고 하자. 그리고 첫 번째 수의 제곱이 두 번째 수의 제곱 보다 첫 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다고 하자. 그러면 세 번째 수의 제곱이 네 번째 수의 제곱 보다 네 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다.
첫 번째 수의 제곱이 두 번째 수의 제곱 보다 첫 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 없는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다고 하자. 그러면 세 번째 수의 제곱이 네 번째 수의 제곱 보다 네 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 없는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 \(a:b=c:d\)를 만족하고, 두 수 \(e\), \(f\)는 \(a^2=b^2+e^2\)과 \(c^2=d^2+f^2\)을 만족한다고 하자. 그러면 두 수 \(a\), \(e\)를 같은 단위로 측정할 수 있으면 두 수 \(c\), \(f\)도 같은 단위로 측정할 수 있고, 두 수 \(a\), \(e\)를 같은 단위로 측정할 수 없으면 두 수 \(c\), \(f\)도 같은 단위로 측정할 수 없다.
두 수들이 같은 단위로 측정할 수 있으면, 그 두 수를 더한 수도 이전 두 수 각각의 수와도 같은 단위로 측정할 수 있다. 역으로 두 수를 더한 수가 이전의 두 수 중 어느 한 수와 같은 단위로 측정할 수 있으면 이전의 두 수도 같은 단위로 측정할 수 있다.
두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)가 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)인 수 AC도 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)와 각각 같은 단위로 측정할 수 있다. 역으로 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)인 수 \(\overline{\rm AC}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
두 수들이 같은 단위로 측정할 수 없다면, 그 두 수를 더한 수도 이전 두 수 각각과 같은 단위로 측정할 수 없다. 역으로 두 수를 더한 수가 이전 수의 한 수와 같은 단위로 측정할 수 없다면 이전 두 수도 같은 단위로 측정할 수 없다.
두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)를 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)인 \(\overline{\rm AC}\)도 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\) 각각과 같은 단위로 측정할 수 없다. 역으로 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)인 \(\overline{\rm AC}\)와 \(\overline{\rm AB}\)가 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)도 같은 단위로 측정할 수 없다.
어떤 선분 위에 정사각형을 뺀 평행사변형을 붙이면 그 평행사변형의 넓이는 어떤 선분이 나누어진 두 선분이 두 변인 직사각형의 넓이와 같다.
선분 \(\rm AB\) 위에 정사각형 \(\rm DCBF\)를 뺀 평행사변형 \(\rm ACDE\)를 붙이자. 그러면 (평행사변형 \(\rm ACDE\) 넓이) \(= \overline{\rm AC} \cdot \overline{\rm CB}\)이다.
길이가 다른 두 선분이 있다. 긴 선분에 정사각형을 뺀 평행사변형을 붙였고, 그 평행사변형의 넓이는 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이의 \(\frac 14\)이라고 하자. 평행사변형이 원래 선분을 나누었는데, 만약 그 두 선분이 같은 단위로 측정할 수 있다면 긴 선분으로 만든 정사각형 넓이는 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이와 긴 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합과 같다.
긴 선분에 정사각형을 뺀 평행사변형을 붙였고, 그 평행사변형의 넓이는 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이의 \(\frac 14\)이라고 하자. 긴 선분으로 만든 정사각형 넓이는 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이와 긴 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합과 같다면, 이 평행사변형이 긴 선분을 나눈 두 선분의 길이는 같은 단위로 측정할 수 있다.
\(a< \overline{\rm BC}\)인 두 선분 \(a\), \(\rm BC\)가 있다.
선분 \(\rm BC\) 위에 어떤 평행사변형을 놓았는데, 그 평행사변형은 (평행사변형 넓이)\(=\frac14 a^2=\left(\frac12 a\right)^2\)이라 하고 정사각형을 뺀 직사각형이라고 하자. 그 직사각형은 (직사각형 넓이)\(=\overline{\rm BD} \cdot \overline{\rm DC}\)이다. [보조명제] 그리고 \(\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm DC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+ \)(BC와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이)이다.
\({\overline{\rm BC}}^2=a^2+\) (\(\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이)이라고 하자. (평행사변형 넓이)\()=\frac14 a^2\)인 평행사변형을 선분 \(\rm BC\) 위에 놓았는데, 그 평행사변형은 정사각형을 뺀 모양이며, 두 변이 \(\rm BD\), \(\rm DC\)인 직사각형이라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm DC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
길이가 다른 선분이 있다.
긴 선분 위에 정사각형을 뺀 평행사변형을 놓여있고 그 평행사변형의 넓이가 작은 선분이 한 변인 정사각형 넓이의 \(\frac 14\)이라 하자. 이 평행사변형이 긴 선분을 둘로 나누었는데 두 선분의 길이가 같은 단위로 측정할 수 없으면, 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이는 긴 선분이 한 변인 넓이와 긴 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분이 한 변인 정사각형 넓이의 합과 같다.
역으로 긴 선분 위에 정사각형을 뺀 평행사변형이 놓여있고 그 평행사변형의 넓이가 작은 선분이 한 변인 정사각형 넓이의 \(\frac 14\)이라 하자. 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이가 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 같으면, 이 평행사변형은 긴 선분을 나누는데 두 선분의 길이는 같은 단위로 측정할 수 없다.
\(\overline{\rm BC}>a\)인 두 선분 \(a\), \(\rm BC\)가 있다.
선분 \(\rm BC\) 위에 정사각형을 뺀 어떤 평행사변형을 작도하였고, 그 평행사변형은 (평행사변형의 넓이)\(=\frac{a^2}4=\left(\frac a2\right)^2\)이라 하자. 그 평행사변형은 두 변이 \(\rm BD\), \(\rm DC\)인 직사각형이고, (평행사변형 넓이)\(=\overline{\rm BD}\cdot \overline{\rm DC}\)이다. [X권 명제 17 보조법칙] 그리고 \(\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm DC}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+\)(\(\overline{\rm BC}\)이 한 변인 어떤 정사각형 넓이)이다.
또한 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+\)(\(\overline{\rm BC}\)이 한 변인 어떤 정사각형 넓이)이라고 하자. 정삭각형을 뺀 어떤 평행사변형을 선분 \(\rm BC\) 위에 놓여있고, 그 평행사변형은 두 변이 \(\rm BD\), \(\rm DC\)인 직사각형이고, (평행사변형 넓이)\(=\overline{\rm BD}\cdot \overline{\rm DC}\)이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm DC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
같은 단위로 측정할 수 있는 선분들이 한 변인 정사각형들의 넓이는 반드시 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러나 정사각형들의 넓이가 같은 단위로 측정할 수 있다고 해서 정사각형의 한 변의 길이들은 반드시 같은 단위로 측정할 수 있는 것은 아니다. 즉, 같은 단위로 측정할 수 있는 경도 있고 같이 단위로 측정할 수 없는 경우도 있음을 보였다. 그러므로 길이가 유리수라고 하였을 때, 그 유리수와 같이 단위로 측정할 수 있는 선분 길이는 유리수라고 하며, 길이 뿐 만아니라 그 길이인 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이도 길의 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있다는 것은 자명하다. 왜냐하면 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 길이인 선분을 한 변으로 하는 정사각형들의 넓이도 반드시 같은 단위로 측정할 수 있기 때문이다.
길이가 유리수인 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 어떤 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이가 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 두 선분 길이의 비가 유리수이면 선분의 길이와 넓이 둘 다 모두 같은 단위로 측정할 수 있다. 그런데 두 선분의 길이를 같은 단위로 측정할 수 없으며 두 선분의 길이의 비가 유리수라고 하면, 길이는 같은 단위로 측정할 수 없으며 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있다.
두 선분의 길이가 유리수이며 같은 단위로 측정할 수 있는 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이는 유리수이다.
선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)의 길이는 유리수 이면 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면 두 변 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)의 직사각형 넓이는 (직사각형 넓이)\(=\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}\)이다.
길이가 유리수인 선분 위에 이 선분을 밑변으로 하는 넓이가 유리수인 직사각형을 그리자. 그러면 직사각형의 높이는 유리수이며, 밑변과 높이는 같은 단위로 측정할 수 있다.
유리수 길이 \(\overline{\rm AB}\)인 선분 \(\rm AB\) 위에 높이가 \(\overline{\rm BC}\)인 직사각형 \(\rm ABCE\)을 그리자. 그러면 \(\overline{\rm BC}\)는 유리수이고, \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
한 변의 길이는 유리수이지만 다른 한 변의 길이는 이들의 길이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 이들 길이는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러면 이 두 길이를 두 변으로 하는 직사각형의 넓이는 무리수이다. 또한 이 직사각형 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이도 무리수이다. 이 한 변의 길이를 네제곱 평균(medial)이라 한다.
두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)는 \(\overline{\rm AB}\)는 유리수이고, \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그리고 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ABCE\)를 작도하자. 그러면 (직사각형 \(\rm ABCD\)의 넓이)는 무리수이다. 또한 직사각형 \(\rm ABCD\)의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이도 무리수이다. 이 길이를 네제곱 평균(medial)이라 한다.
두 선분이 있다. 첫 번째 선분과 두 번째 선분의 길이의 비는 첫 번째 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 두 선분으로 만든 직사각형 넓이의 비와 같다.
두 선분 \(\rm FE\), \(\rm EG\)가 있다. \(\overline{\rm FG}=\overline{\rm FE}+\overline{\rm EG}\)이다. 그러면 \(\overline{\rm FE}:\overline{\rm EG}={\overline{\rm FE}}^2:{\overline{\rm EG}}^2\)이다.
네제곱 평균의 길이를 한 변으로 하는 정사각형을 작도하자. 이 정사각형 넓이와 같은 직사각형을 길이가 유리수인 한 변 위에 작도하자. 그러면 이 때 다른 변의 길이는 유리수인 한 변과 같은 단위로 측정할 수 없다.
선분 \(a\)가 네제곱 평균이라 하고, 선분 \(\rm CB\)의 길이가 유리수라 하자. 선분 \(\rm CB\) 위에 작도된 직사각형 \(\rm BCDH\)는 (직사각형 \(\rm BCDH\) 넓이)\(=a^2\)이다. 선분 \(\rm CD\)의 길이는 선분 \(\rm CB\)의 길이와 같은 단위로 측정할 수 없다.
길이가 네제곱근 평균인 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분 길이는 네제곱근 평균이다.
\(a\)가 네제곱근 평균이라고 \(a\)와 \(b\)가 같은 단위로 측정을 할 수 있다고 하자. 그러면 \(b\)도 네제곱근 평균이다.
네제곱근 평균이 넓이와 같은 단위로 측정할 수 있는 넓이는 네제곱근 평균이다.
길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 두 네제곱근 평균의 길이를 두 변으로 만든 직사각형 넓이는 네제곱근 평균이다.
두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)로 직사각형 \(\rm ABCE\)를 만들었다. 두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있는 네제곱근 평균이라 하자. 그러면 직사각형 \(\rm ABCE\) 넓이가 네제곱근 평균이다.
정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있는 네제곱근 평균을 길이로 갖는 두 선분으로 만든 직사각형 넓이는 유리수일 수도 있고 네제곱근 평균일 수 있다.
길이가 네제곱근 평균인 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ABCJ\)를 만들자. 이 두 선분 \(\overline{\rm \rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면 직사각형 \(\rm ABCJ\) 넓이는 유리수일 수도 있고 네제곱근 평균일 수도 있다.
두 선분은 각 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이가 유리수인 길이가 네제곱근 평균인 두 선분이 존재한다.
\(\frac{c^2}{d^2}\)이 유리수이며 \(c^2\), \(d^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있고, \(cd\)도 유리수인 네제곱근 평균인 수 \(c\), \(d\)가 존재한다.
두 선분은 각각 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이는 네제곱근 평균인 길이가 네제곱근 평균인 두 선분이 존재한다.
\(\frac de\)는 무리수이며, \(\frac{d^2}{e^2}\)은 유리수로 \(d^2\), \(e^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있으며, \(de\)는 네제곱근 평균이 되는 네제곱근 평균인 두 수 \(d\), \(e\)가 존재한다.
두 제곱수의 합이 제곱수인 두 제곱수가 존재한다.
두 제곱수의 합이 제곱수가 아닌 두 제곱수가 존재한다.
두 선분의 길이는 같은 단위로 측정할 수 없고 이 길이를 한 변인 정사각형 넓이만이 같은 단위로 측정할 수 있으며, 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이는 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분 길이와 같은 단위로 측정할 수 있는 길이가 한 변인 정사각형 넓이의 합인 두 선분이 존재한다.
\(\overline{\rm AB}\)는 유리수이고 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AF}}^2\), \({\overline{\rm AB}}^2\)만이 같은 단위로 측정할 수 있으며, \({\overline{\rm AB}}^2={\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm BF}}^2\)이며 \(\overline{\rm BF}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AF}\)가 존재한다.
두 선분은 그 길이는 같은 단위로 측정할 수 없고 그 선분이 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이는 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분이 한 변인 정사각형 넓이의 합과 같도록 하는 두 선분이 존재한다.
\(\overline{\rm AB}\)는 유리수이고 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AF}}^2\), \({\overline{\rm AB}}^2\)만이 같은 단위로 측정할 수 있으며, \({\overline{\rm AB}}^2={\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm BF}}^2\)이며 \(\overline{\rm BF}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AF}\)가 존재한다.
길이가 네제곱근 평균인 두 선분으로 이들 길이가 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 이 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이의 제곱은 유리수이며, 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이는 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 같은 두 선분이 존재한다.
\(a>b\)이며 길이가 네제곱근 평균인 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \(a^2\), \(b^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있으며 또한 \(\left(ab\right)^2\)는 유리수이고 \(a^2\)은 \(b^2\)과 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 수의 제곱의 합과 같은 수 \(a\), \(b\)가 존재한다.
두 네제곱근 평균은 각각의 길이의 선분이 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 그 두 길이가 두 변인 직사각형 넓이도 네제곱근 평균이며, 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이는 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분 길이와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합과 같은 두 네제곱근 평균이 존재한다.
어떤 \(d>e\)인 두 네제곱근 평균 \(d\), \(e\)에 대하여, \(\frac{d^2}{e^2}\)은 유리수이고, \(\frac de\)는 무리수이며, \(de\)도 네제곱근 평균이고, \(d^2\)은 \(e^2\)과 \(d\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 길의 제곱의 합과 같다.
\(\rm\angle A=90^\circ\)인 직각 삼각형 \(\rm ABC\)에 대하여, 점 \(\rm A\)에서 밑변 \(\rm BC\)에 수선 \(\rm AD\)를 그려라. 그러면 \(\overline{\rm CB}\cdot\overline{\rm BD}={\overline{\rm AB}}^2\), \(\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm CD}={\overline{\rm CA}}^2\), \(\overline{\rm BD}\cdot\overline{\rm DC}={\overline{\rm AD}}^2\), \(\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm AD}=\overline{\rm BA}\cdot\overline{\rm AC}\)이다.
두 선분에 대하여, 이 두 선분을 한 변으로 하는 두 정사각형 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고, 이 두 정사각형의 넓이를 더 하면 유리수가 되고, 이 두 선분이 두 변이 되는 직사각형 넓이는 네제곱근 평균이 되는 선분이 존재한다.
어떤 두 선분 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FB}\)은 \({\overline{\rm AF}}^2\), \({\overline{\rm FB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm FB}}^2\)은 유리수이며 \(\overline{\rm AF}\cdot\overline{\rm FB}\)는 네제곱근 평균이 된다.
두 선분으로 각각 만든 정사각형 넓이를 같은 단위로 측정할 수 없고, 이 두 정사각형 넓이를 더하면 네제곱근 평균이고, 두 선분으로 만든 직사각형 넓이는 유리수가 되는 두 선분이 존재한다.
두 선분 \(\overline{\rm AD}\), \(\overline{\rm DB}\)에 대하여 \({\overline{\rm AD}}^2\)과 \({\overline{\rm BD}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AD}}^2 + {\overline{\rm DB}}^2\)은 네제곱근 평균이고, \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)는 유리수인 두 선분 \(\overline{\rm AD}\), \(\overline{\rm DB}\)가 존재한다.
두 선분으로 각각 작도한 정사각형들의 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고, 이 두 정삭가형의 넓이를 더하면 네제곱근 평균이 되고, 그 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이는 네 제곱근이며, 직사각형 넓이는 두 정사각형들을 더한 넓이와 같이 단위로 측정할 수 없는 두 선분이 존재한다.
두 선분 \(\overline{\rm AD}\), \(\overline{\rm DB}\)는 \({\overline{\rm AD}}^2\), \({\overline{\rm DB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)는 네제곱근 평균이 되고, \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)도 네제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)와 \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
같은 단위로 측정 할 수 없는 두 선분으로 각각 만든 두 정사각형은 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 그 두 선분을 더한 전체 길이는 무리수이다. 이 전체 길이를 이항(binomial)이라 한다.
\(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\) 같은 단위로 측정 할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)(\(=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\))는 무리수이다.
길이가 네제곱근인 두 선분은 이 들 선분을 각각 한 변으로 하는 두 정사각형 넓이는 같은 단위로 측정할 수 있고, 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이는 유리수라고 하자. 그러면 두 선분의 합은 무리수이고 이것을 첫 번째 두개의 네제곱근(the first bimedial straight line)이라 한다.
길이가 네제곱근인 두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)(\(=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\))은 무리수이다.
네제곱근인 두 선분을 각각 한 변으로 하는 정사각형 넓이들은 같은 단위로 측정할 수 있고, 그들로 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이도 네제곱근이라 하자. 두 선분을 더한 전체 선분은 무리수이다. 이것을 두 개의 두 번째 네제곱근이라 하자.
길이가 네제곱근인 두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)(\(=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\))는 무리수이다.
두 선분으로 만들 정사각형들의 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고 두 정사각형의 넓이의 합은 유리수이며, 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이는 네제곱근 평균이라 하자. 그러면 두 선분을 더한 선분의 길이는 무리수이다. 이것을 큰 선분이라 부르자.
두 선분의 길이 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2 + {\overline{\rm BC}}^2\)는 유리수이라 하고, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 33] 그러면 \(\overline{\rm AC}\)(\(=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\))는 무리수이다.
두 선분으로 만든 각각 한 변인 정사각형의 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고, 두 정사각형을 더한 넓이는 네제곱근 평균이며, 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이는 유리수라고 하자. 그러면 두 선분을 더한 길이는 무리수이다. 이것을 유리수인 넓이와 네제곱근 평균 넓이를 더한 것의 변이라 한다.
두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)의 길이 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 네제곱근 평균이고, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수라하자. [X권 명제 34] 그러면 \(\overline{\rm AC}\)(\(=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\))는 무리수이다. 이것을 유리수인 넓이와 네제곱근 평균 넓이를 더한 것의 변이라 한다.
두 선분이 각각 한 변인 정사각형의 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고, 두 정사각형들의 넓이의 합은 네제곱근 평균이며, 그 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이도 네제곱근 이며, 직사각형의 넓이와 두 정사각형 넓이의 합은 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 두 선부의 길이의 합은 무리수이다. 이것을 네제곱근 평균인 두 넓이를 더한 것의 변이라 한다.
두 선분의 길이 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)은 네제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm, BC}\)도 네제곱근 평균이며, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)과 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm, BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)는 무리수이다. 이것을 네제곱근 평균인 두 넓이를 더한 것의 변이라 한다.
위의 명제에서 위에 다룬 길이가 무리수인 선분들은 그것들을 더하여 요구하는 조건들을 만족하도록 나누는 방법은 단 한 가지 뿐이다. 이 보조 명제는 다음 명제들을 증명하자.
선분 \(\rm AB\)를 그리고, 점 \(\rm C\), \(\rm D\)를 잡아서 이 선분의 길이가 다르게 자르자. 그리고 \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm DB}\)이라고 하자. 그러면 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2<{\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)이다.
이항 선분은 한 점에서만 두 성분으로 자를 수 있다.
이항 선분 \(\rm AB\)를 한 점 \(\rm C\)로 잘라서 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)만을 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. [X권 명제 36] 그러면 그러한 점 \(\rm C\)는 유일하다.
첫 번째 두 개의 네제곱근 평균 선분은 한 점에서만 자를 수 있다.
첫 번째 두 개의 네제곱근 평균 선분 \(\rm AB\)의 한 점 \(\rm C\)에서 잘라서 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)의 길이인 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이며, \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)만 같은 단위로 측정할 수 있고 \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 유리수가 되게 하는 점 \(\rm C\)는 유일하다.
두 번째 두 개의 네제곱근 평균 선분은 한 점에서만 자를 수 있다.
두 번째 두 개의 네제곱근 평균 선분 \(\rm AB\)를 한 점 \(\rm C\)에서 잘라서 만들어진 두 선분의 길이 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이며, \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균으로 만드는 점 \(\rm C\)는 유일하다.
주 선분은 단 한 점에서만 자를 수 있다.
주 선분 \(\rm AB\)는 한 점 \(\rm C\)에서 잘랐다고 하자. 그래서 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 유리수이며, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 39] 그러면 선분 \(\rm AB\)의 점 \(\rm C\) 이외의 점으로 잘라서 위의 조건을 만족할 수 없다.
유리수 넓이와 네제곱근 평균 넓이를 더한 넓이의 변은 단 한 점에서만 자를 수 있다.
선분 \(\rm AB\)가 유리수 넓이와 네제곱근 평균을 더한 것의 변이라고 하자. 점 \(\rm C\)를 잡아 잘라진 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)는 네제곱근 평균이며, \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 유리수라고 하자. [X권 명제 40] 그러면 조건을 만족하는 \(\rm AB\)는 단 점 \(\rm C\) 이외의 점을 잡아서 자를 수 없다.
네제곱근 평균인 두 넓이를 더한 것의 변은 단 한 점에서만 자를 수 있다.
선분 \(\rm AB\)에서 한 점 \(\rm C\)를 잡아 잘라다. 잘라진 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 네제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)과 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 선분 \(\rm AB\)는 점 \(\rm C\) 이외의 점을 잡아 잘려진 두 선분으로 위 조건을 만족하지 못한다.
주어진 유리수와 이항 선분에 대하여, 이항 선분을 잘라서 만든 두 선분을 만들자. 두 선분 중 긴 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이가 짧은 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 차이가 긴 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같다고 하자. 잘려진 두 선분 중 긴 선분의 길이와 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있으면 이 이항 선분을 ‘첫 번째 이항 선분(first binomial straight line)’이라 한다.
잘려진 두 선분 중 짧은 선분이 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있으면 이 이항 선분을 ‘두 번째 이항 선분(second binomial straight line)’이라 한다.
잘려진 두 선분 모두 유리수와 같은 단위로 측정할 수 없으면 이 이항 선분은 ‘세 번째 이항 선분(third binomial straight line)’이라 한다.
주어진 유리수와 이항 선분에 대하여, 이항 선분을 잘라서 만든 두 선분을 만들자. 두 선분 중 긴 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이가 짧은 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 차이가 긴 선분과 같은 단위로 측정할 수 없는 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같다고 하자. 잘려진 두 선 분 중 긴 선분의 길이와 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있으면 이 이항 선분을 ‘네 번째 이항 선분(fourth binomial straight line)’이라 한다.
잘려진 두 선분 중 짧은 선분의 길이가 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 없으면 이 이항 선분을 ‘다섯 번째 이항 선분(fifth binomial straight line)’이라 한다.
잘려진 두 선분 중 모두 주어진 유리수와 같은 단위로 측정할 수 없으면 이 이항 선분을 ‘여섯 번째 이항 선분(sixth binomial straight line)’이라 한다.
두 정사각형 \(\rm AFBD\)와 \(\rm BECG\)에 대하여, 두 선분 \(\rm BD\)와 \(\rm BE\)가 한 직선 위에 있다고 하자. 그러면 두 선분 \(\rm FB\)와 \(\rm BG\)도 한 직선 위에 있다.
길이가 유리수인 선분과 첫 번째 이항 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며 이항 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 첫 번째 이항 선분 \(\rm AD\)을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며 이항 선분이다.
길이가 유리수인 선분과 두 번째 이항 선분이 두 변인 직사각형을 작도하자. 이 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며 첫 번째 네제곱근 평균이 된다.
\(\overline{\rm AB}\)이 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 두 번째 이항 선분 \(\rm AD\)이 두 변인 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이와 같은 정사각형의 한 변은 첫 번째 네제곱근 평균이다.
길이가 유리수인 선분과 세 번째 이항 선분을 두 변으로 하는 직사각형을 작도하자. 이 직사각형의 넓이와 같은 정사각형이 한 변의 길이는 무리수이면 두 번째 네제곱근 평균 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)이 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 세 번째 이항 선분 \(\rm AD\)이 두 변인 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이와 같은 정사각형의 한 변은 두 번째 네제곱근 평균이다.
길이가 유리수인 선분과 네 번째 이항 선분이 두 변인 직사각형을 작도하자. 이 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며 큰 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)이 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 세 번째 이항 선분 \(\rm AD\)이 두 변인 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 그러면 (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)와 같은 정사각형의 한 변의 길이가 무리수이며, 이 길이가 큰 선분이다.
길이가 유리수인 선분과 다섯 번째 이항 선분이 두 변인 직사각형을 작도하자. 이 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며, 그 선분은 정사각형의 넓이가 유리수와 제곱근 평균을 더한 것의 한 변이다.
\(\overline{\rm AB}\)가 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 다섯 번째 이항 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 그러면 (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)와 같은 정사각형의 한 변의 길이가 무리수이며, 그 선분은 정사각형의 넓이가 유리수와 제곱근 평균을 더한 것의 한 변이다.
길이가 유리수인 선분과 여섯 번째 이항 선분이 두 변인 직사각형을 작도하자. 이 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며, 그 변은 정사각형의 넓이가 제곱근 평균인 두 넓이인 한 변의 길이이다.
\(\overline{\rm AB}\)가 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 여섯 번째 이항 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 그러면 (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)와 같은 정사각형의 한 변의 길이가 무리수이며, 그 한 변은 정사각형의 넓이가 제곱근 평균인 두 넓이인 한 변의 길이이다.
선분을 길이가 다르게 두 개로 자르자. 그러면 잘려진 두 선분으로 각각 정사각형의 넓이를 더한 것은 이 잘려진 두 선분으로 만든 직사각형 넓이의 두 배보다 크다.
선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)로 자르자. 그러면 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2 > 2 \cdot \overline{\rm AC}\cdot \overline{\rm CB}\)이다.
이항 선분을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같은 직사각형을 만들어 길이가 유리수인 선분 위에 놓자. 그러면 이때 직사각형의 가로 길이는 이항 선분이 된다.
이항 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)에서 자르고, \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)라 하자. 길이가 유리수인 선분 \(\rm DE\)이 한 변이고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 \(\overline{\rm DG}\)은 첫 번째 이항 선분이다.
길이가 첫 번째 네제곱근 평균을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 같고 한 변의 길이가 유리수인 직사각형의 다른 한 변은 두 번째 이항 성분이다.
길이가 첫 번째 제곱근인 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 잘라 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)를 만족한다. 주어진 유리수 \(\overline{\rm DE}\)에 대하여, 선분 \(\rm DG\)는 \({\overline{\rm AB}}^2=\overline{\rm DE}\cdot\overline{\rm DG}\)를 만족한다. 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm DG\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 \(\overline{\rm DG}\)가 이항 선분이다.
두 번째 네제곱근 평균으로 만든 정사각형 넓이와 같은 한 변의 길이가 유리수인 직사각형을 작도하자. 그러면 직사각형의 나머지 한 변은 세 번째 이항 선분이다.
길이가 두 번째 네제곱근 평균인 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)가 되도록 자르자. 길이가 유리수인 \(\overline{\rm DE}\)가 한 변이고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm DEFG\)의 나머지 한 변 \(\rm DG\)는 세 번째 이항 선분이다.
큰 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 같게 한 변의 길이가 유리수인 직사각형을 작도하자. 그러면 이 직사각형의 나머지 한 변의 길이는 네 번째 이항 선분이다.
큰 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)가 되도록 자르자. 유리수 길이인 선분 \(\rm DE\)를 한 변으로 하고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 선분 \(\rm DG\)는 네 번째 이항 선분이다.
유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이를 더한 것을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같고 한 변이 유리수인 직사각형을 만들자. 그러면 이 직사각형의 다른 한 변은 다섯 번째 이항 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)라 할 때, 유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이이라 하자. 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)가 되도록 자르자. 길이가 유리수인 선분 \(\rm DE\)를 한 변으로 하고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm DEFG\)의 다른 한 변 \(\rm DG\)는 다섯 번째 이항 선분이다.
두 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 같도록 한 변이 유리수인 한 변인 직사각형을 작도하자. 그러면 직사각형의 나머지 한 변은 여섯 번째 이항 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)는 두 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이라 하자. 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)가 되도록 자르자. 길이가 유리수인 선분 \(\rm DE\)를 한 변으로 하고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm DEFG\)의 다른 한 변 \(\rm DG\)는 여섯 번째 이항 선분이다.
이항 선분과 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 이항 선분이다.
이항 선분 \(\rm AB\)에 대하여, \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm CD}\)가 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면, \(\rm CD\)도 같은 종류의 이항선분이다.
네제곱근 평균과 같은 단위로 측정할 수 있는 것은 같은 종류의 네제곱근 평균이다.
\(\overline{\rm AB}\)가 네제곱근 평균이라 하고, \(\overline{\rm CD}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm CD}\)도 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 네제곱근 평균이다.
큰 선분의 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 큰 선분이다.
큰 선분 \(\rm AB\)에 대하여, \(\overline{\rm CD}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 선분 \(\rm CD\)는 큰 선분이다.
유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이를 갖는 변과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이를 갖는 변이다.
\(\overline{\rm AB}\)는 유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이라 하자. 그리고 선분 \(\rm CD\)가 선분 \(\rm AB\)와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm CD}\)도 유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이이다.
두 제곱근 평균 넓이를 더한 길이인 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 두 제곱근 평균 넓이를 더한 길이인 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)는 두 제곱근 평균의 넓이를 더한 값과 같다고 하자. 그리고 선분 \(\rm CD\)는 선분 \(\rm AB\)와 같은 단위로 길이를 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm CD}\)도 두 제곱근 평균의 넓이를 더한 길이와 같은 선분이다.
유리수와 제곱근 평균의 합이 넓이인 정사각형을 작도하자. 그러면 네 가지의 무리수인 선분들을 만들 수 있다. 즉, 이항 선분, 첫 번째 두 개의 제곱근 평균 선분, 큰 선분, 유리수와 제곱근 평균을 더한 길이인 선분이다.
(직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)가 유리수이고, (직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)가 제곱근 평균이라 하자. 그러면 (직사각형 \(\rm AJDL\) 넓이)와 같은 정사각형의 변의 길이는 이항선분, 첫 번째 두 개의 제곱근 평균 선분, 큰 선분, 유리수 넓이와 제곱근 평균의 합이 길이인 선분이 될 수 있다.
넓이를 같은 단위로 측정할 수 없는 제곱근 평균인 두 넓이를 더한 것과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변의 길이는 나머지 두 종류의 무리수 길이를 갖는 선분이 생긴다. 즉, 두 번째 네제곱근 평균 선분 또는 제곱근 평균인 두 넓이를 더한 것의 변이다.
제곱근 평균인 넓이 \(\rm AJBC\)와 \(\rm CBDL\)은 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 (직사각형 \(\rm AJDL\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형 변의 길이는 두 번째 네제곱근 평균 선분이거나 또는 제곱근 평균인 두 넓이를 더한 변이다.
이항 선분과 그 뒤를 이어 나온 길이가 무리수인 선분들은 제곱근 평균과 다르며 그들은 서로도 모두 다르다.
길이가 유리수인 선분에서 길이가 유리수인 선분을 뺏다. 뺀 선분과 전체 선분은 그들로 만든 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 남은 선분은 무리수이다. 이것을 ‘뺀 선분’이라 하자.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AB\)에서 길이가 유리수인 \(\rm BC\)를 뺏다. \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 유리수이고 단 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 남은 선분 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. \(\overline{\rm AC}\)을 ‘뺀 선분’이라 하자.
길이가 네제곱근 평균인 선분에서 길이가 네제곱근 평균인 선분을 뺏다. 뺀 선분과 전체 선분은 그들을 변으로 하는 정사각형의 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그리고 이 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이는 유리수라고 하자. 그러면 남은 선분은 무리수이다. 이 선분을 ‘네제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분’이라 하자.
길이가 네제곱근 평균인 선분 \(\rm AB\)에서 길이가 네제곱근 평균인 선분 \(\rm BC\)를 뺏다. \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 단지 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그리고 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수라 하자. 그러면 남은 선분 길이 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. 이 선분을 ‘네제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분’이라 하자.
길이가 네제곱근 평균인 선분에서 길이가 네제곱근 평균인 선분을 뺏다. 뺀 선분과 전체 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이 만이 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그리고 이 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이가 네제곱근 평균이라 하자. 그러면 남은 선분의 길이는 무리수이다. 이 선분을 ‘네제곱근을 뺀 두 번째 선분’이라 하자.
길이가 네제곱근 평균인 선분 \(\rm AB\)에서 길이가 네제곱근 평균인 선분 \(\rm BC\)를 뺏다. \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 28] 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. 이 선분을 ‘네제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분’이라 하자.
선분에서 어떤 선분을 뺏는데, 각각 이 두 선분들을 변으로 하는 두 정사각형의 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고, 이 두 정사각형 넓이의 합은 유리수이고, 이 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이는 네제곱근 평균이라 하자. 그러면 남은 선분은 무리수이다. 이것을 ‘작은 선분’이라 하자.
선분 \(\rm AB\)에서 선분 \(\rm BC\)를 빼자. \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 유리수이고 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. 이 선분을 ‘작은 선분’이라 하자.
선분에서 어떤 선분을 뺏는데, 각각 이 두 선분들을 변으로 하는 두 정사각형의 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고, 이 두 정사각형 넓이의 합은 네제곱근 평균이고 이 두 선분을 두 변으로 하는 넓이는 유리수라 하자. 그러면 남은 선분은 그 길이가 무리수이다. 이 선분을 ‘유리수 넓이와 더해서 네제곱근 평균 넓이를 만드는 선분’이라 하자.
선분 \(\rm AB\)에서 선분 \(\rm BC\)을 빼자. \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 네제곱근 평균이고 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. 이 선분을 ‘유리수 넓이와 더해서 네제곱근 평균 넓이를 만드는 선분’이라 하자.
선분에서 어떤 선분을 뺏는데, 각각 이 두 선분들을 변으로 하는 두 정사각형의 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고, 이 두 정사각형 넓이의 합은 네제곱근 평균이고 이 두 선분을 두 변으로 하는 넓이는 네제곱근 평균인데, 두 정사각형을 더한 넓이와 직사각형의 넓이의 두 배는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 남은 선분은 그 길이가 무리수이다. 이 선분을 ‘네제곱근 넓이와 더해서 네제곱근 평균 넓이를 만드는 선분’이라 하자.
선분 \(\rm AB\)에서 선분 \(\rm BC\)을 빼자. \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 네제곱근 평균이고 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)은 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)과 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. 이 선분을 ‘네제곱근 넓이와 더해서 네제곱근 평균 넓이를 만드는 선분’이라 하자.
뺀 선분과 어떤 길이가 유리수인 선분을 이어서 붙인 선분과 전체 선분이 각각 선분이 변인 정사각형들의 넓이 만을 같은 단위로 측정할 수 있는 것은 단 하나 뿐이다.
뺀 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BC\)를 이어 붙이자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 유리수이며, 단 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. [X권 명제 73] 그러면 선분 \(\rm BC\)과 선분 \(\overline{\rm AC}\) 만이 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm AC}}^2\)만을 같은 단위로 측정할 수 있다.
뺀 선분과 어떤 길이가 제곱근 평균인 선분을 이어서 붙인 선분과 전체 선분이 각각 선분이 변인 정사각형들의 넓이 만을 같은 단위로 측정할 수 있고 두 선분을 두 변으로하는 직사각형 넓이가 유리수인 것은 단 하나 뿐이다.
\(\overline{\rm AB}\)가 네제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이라 하고, 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BC\)를 이어 붙였다. \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이며 \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수라 하자. [X권 74] 그러면 \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm AC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm AC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm AC}\)는 유리수가되는 네제곱근 평균 선분으로 유일하다.
네제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분에 어떤 네제곱근 평균을 붙이자. 붙인 선분과 전체 선분은 그들을 각각 변으로 하는 정사각형의 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 그 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형은 네제곱근 평균이 되는 것은 유일하다.
선분 \(\rm AB\)가 네제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이라 하고, 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BC\)를 이어 붙였다. \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이며 단 \({\overline{\rm AC}}^2\)과 \({\overline{\rm CB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 75] 그러면 선분 \(\rm AB\)에다 이어 붙인 전체 선분 \(\rm AC\)과 붙인 선분 \(\rm CB\)은 단 \({\overline{\rm AC}}^2\)과 \({\overline{\rm CB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이 되는 것은 \(\overline{\rm AC}\)와 \(\overline{\rm CB}\) 뿐이다.
짧은 선분에다 어떤 선분을 이어 붙여서, 붙인 선분과 전체 선분을 변으로 하는 정사각형의 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고, 이 두 정사각형을 더한 넓이는 유리수이며 이 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이의 두 배는 네제곱근 평균이 되는 것은 단 하나 뿐이다.
짧은 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BC\)를 이어 붙였다. \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)는 유리수이며, \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 76] 그러면 짧은 선분 \(\rm AB\)에 이어 붙여서 위 조건을 만족하는 선분은 선분 선분 \(\rm BC\) 뿐이다.
유리수 넓이와 더해서 네제곱근 평균 넓이가 길이인 선분에 어떤 선분을 이어 붙여서 붙인 선분과 전체 선분들로 각각 변인 정사각형 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고 두 정사각형의 넓이는 네제곱근 평균이며 이 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이의 두 배는 넓이가 유리수가 되는 것은 단 하나 뿐이다.
유리수와 네제곱근 평균을 더한 길이인 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm CB\)를 이어 붙였다고 하자. 그래서 \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm CB}\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\)와 \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)는 네제곱근 평균이며 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 유리수라 하자. [X권 명제 77] 그러면 선분 \(\rm AB\)에 이어 붙여서 위 조건을 만족하는 선분은 \(\rm CB\) 뿐이다.
네제곱근 평균과 더해서 네제곱근 평균이 길이인 선분에 어떤 선분을 붙이자. 붙인 선분과 전체 선분은 그들을 각각 변으로 하는 정사각형의 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 없고, 각각의 선분을 변으로 하는 두 정사각형 넓이를 더한 것은 네제곱근 평균이며, 그 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이의 두 배는 네제곱근 평균이지만 두 정사각형을 더한 넓이와는 같은 단위로 측정할 수 없는 선분은 붙인 선분 단 하나 뿐이다.
네제곱근 평균과 더해서 네제곱근 넓이를 길이로 하는 선분 \(\rm AB\)가 있다. 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BC\)를 이어 붙였다. \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\)과 \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있고, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)는 네제곱근 평균이며, \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이지만, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)과는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. [X권 명제 78] 그러면 선분 \(\rm AB\)에다 이어 붙인 전체 선분 \(\rm AC\)과 붙인 선분 \(\rm CB\)는 위 조건을 만족하는 유일한 선분이다.
주어진 길이가 유리수인 선분과 뺀 선분(apotome, 무리수)에 대하여, 뺀 선분에다 어던 선분을 붙이자. 전체 선분을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 붙이 선분으로 만든 정사각형의 넓이의 차이가 전체 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 같고, 전체 선분과 주어진 유리수 길이과 같은 단위로 측정할 수 있으면 뺀 선분을 ‘첫 번째 뺀 선분’이라 한다.
붙인 선분의 길이와 주어진 선분 길이와 같은 단위로 측정할 수 있고, 전체 선분으로 만든 정사각형 넓이와 붙인 선분을 한 변인 정사각형 넓이의 차이가 전체 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 같으면 이 뺀 선분을 ‘두 번째 뺀 선분이라 한다.
둘 다 주어진 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 없고, 전체 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 붙인 선분을 한 변인 정사각형 넓이의 차이가 전체 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 한 변으로 한 정사각형 넓이이면, 이 뺀 선분을 ‘세 번째 뺀 선분’이라 한다.
전체 선분을 한 변으로 한 정사각형 넓이가 붙인 선분을 한 변으로 한 정사각형 넓이의 차이가 전체 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 한 변으로 한 정사각형 넓이이고, 전체 선분의 길이와 주어진 유리수 길이와 같은 단위로 측정할 수 있으면 이 뺀 선분을 ‘네 번째 뺀 선분’이라 한다.
이러면서 붙인 선분과 주어진 유리수 선분과 같은 단위로 측정할 수 있으면 뺀 선분을 ‘다섯 번째 뺀 선분’이라 한다.
이러하면서 둘 다 주어진 길이가 유리수 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 없으면 이 뺀 선분을 ‘여섯 번째 뺀 선분’이라 한다.
첫 번째 뺀 선분을 작도할 수 있다.
길이가 유리수 \(a\)인 주어진 선분에 대하여, \(\overline{\rm BG}\)는 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm BG}\)는 유리수이다.
길이가 유리수인 선분과 첫 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 변의 길이는 뺀 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 첫 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 (직사각형 \(\rm ACBD\)의 넓이)와 같은 정사각형 변은 뺀 선분이다.
길이가 유리수인 선분과 두 번째 뺀 선분을 두 변인 직사각형 넓이와 같은 정사각형 변은 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)인 선분과 두 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)가 두 변인 직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이와 같은 정사각형 변은 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이다.
길이가 유리수인 선분과 세 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 변은 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 세 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이를 갖는 정사각형의 변은 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이다.
길이기 유리수인 선분과 네 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 정사각형 한 변의 길이는 짧은 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 네 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ACBD\)를 작도하자. (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)와 넓이가 같은 정사각형 변의 길이는 짧은 선분이다.
길이가 유리수인 선분과 다섯 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 변은 넓이가 유리수와 제곱근 평균을 만드는 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 다섯 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변인 직사각형 \(\rm ACBD\)의 넓이와 같은 정사각형 변은 넓이가 유리수와 제곱근 평균을 만드는 선분이다.
길이가 유리수인 선분과 여섯 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변과 넓이가 제곱근 평균과 더한 변은 넓이가 제곱근 평균이 되는 변이다.
길이가 유리수 \(\overline{\rm AC}\)와 여섯 번째 뺀 선분 \(\overline{\rm AD}\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ACBD\)를 작도하자. 그러면 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)의 넓이를 갖는 정사각형 변과 넓이가 제곱근 평균과 더한 변은 넓이가 제곱근 평균이 되는 변이다.
뺀 선분을 변으로 하는 정사각형을 작도하고 그 정사각형 넓이와 같은 직사각형을 길이가 유리수인 변 위에 작도하자. 그러면 직사각형의 나머지 한 변은 첫 번째 뺀 선분이다.
뺀 선분 \(\rm AB\)과 유리수 \(\overline{\rm CD}\)인 선분 \(\rm CD\)가 있다. 선분 \(\rm CD\) 위에 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm CDEF\)을 작도하자. 그러면 나머지 한 변 \(\rm CF\)는 첫 번째 뺀 선분이다.
넓이가 제곱근 평균이며 뺀 첫 번째 선분을 변으로 하는 정사각형이 있다. 이 정사각형 넓이와 같은 한 변의 길이가 유리수인 직사각형의 나머지 변은 두 번째 뺀 선분이다.
주어진 첫 번째 뺀 선분 \(\rm AB\)는 \(\overline{\rm AB}\)는 제곱근 평균이다. 길이가 유리수 \(\overline{\rm CD}\)인 선분 \(\rm CD\) 위에 넓이가 \({\overline{\rm }}^2\)이고 한 변이 선분 \(\rm CD\)인 직사각형 \(\rm CDEF\)를 작도하자. 그러면 직사각형의 나머지 변 \(\rm CF\)는 두 번째 뺀 선분이다.
제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이와 같고 한 변이 유리수인 직사각형을 작도하자. 그러면 나머지 한 변은 세 번째 뺀 선분이다.
제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분 \(\rm AB\)와 길이가 유리수인 선분 \(\rm CD\)가 있다. 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 같고 한 변이 \(\rm CD\)인 직사각형 \(\rm CDEF\)를 작도하자. 그러면 나머지 한 변 \(\rm CF\)는 세 번째 뺀 선분이다.
짧은 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이와 같은 한 변의 길이가 유리수인 직사각형을 작도하면 나머지 한 변은 네 번째 뺀 선분이다.
짧은 선분 \(\rm AB\)와 길이가 유리수인 선분 \(\rm CD\)가 있다. (직사각형 \(\rm CDEF\) 넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2\)인 한 변의 \(\overline{\rm CD}\)인 직사각형 \(\rm CDEF\)의 나머지 한 변 \(\rm CF\)는 네 번째 뺀 선분이다.
길이를 제곱해서 유리수인 길이를 더하면 제곱근 평균이 되는 선분으로 정사각형을 작도하자. 넓이가 이 정사각형 넓이와 같고 한 변의 길이가 유리수인 직사각형의 나머지 한 변은 다섯 번째 뺀 선분이다.
길이를 제곱해서 유리수인 길이를 더하면 제곱근 평균이 되는 선분 \(\rm AB\)와 유리수 \(\overline{\rm CD}\)가 있다. (직사각형 \(\rm CDEF\) 넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2\)이고 한 변이 \(\rm CD\)인 직사각형 \(\rm CDEF\)의 나머지 한 변 \(\rm CF\)는 다섯 번째 뺀 선분이다.
길이를 제곱해서 유리수인 길이를 더하면 제곱근 평균이 되는 선분으로 정사각형을 작도하자. 넓이가 이 정사각형 넓이와 같고 한 변의 길이가 유리수인 직사각형의 나머지 한 변은 다섯 번째 뺀 선분이다.
길이를 제곱해서 유리수인 길이를 더하면 제곱근 평균이 되는 선분 \(\rm AB\)와 유리수 \(\overline{\rm CD}\)가 있다. (직사각형 \(\rm CDEF\) 넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2\)이고 한 변이 \(\rm CD\)인 직사각형 \(\rm CDEF\)의 나머지 한 변 \(\rm CF\)는 다섯 번째 뺀 선분이다.
뺀 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 같은 뺀 선분이다.
선분 \(\rm AB\)가 뺀 선분이고, \(\overline{\rm CD}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은
제곱근 평균을 뺀 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 같은 제곱근 평균을 뺀 선분이다.
선분 \(\rm AB\)가 제곱근 평균을 뺀 선분이고, \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm CD}\)가 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 선분 \(\rm CD\)도 선분 \(\rm AB\)와 같은 제곱근 평균을 뺀 선분이다.
짧은 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 짧은 선분이다.
선분 \(\rm AB\)가 짧은 선분이고, \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm AB}\)가 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 선분 \(\rm CD\)도 짧은 선분이다.
선분을 변으로하는 정사각형 넓이가 유리수를 더해서 제곱근 평균인 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분도 넓이가 유리수를 더해서 제곱근 평균인 선분이다.
\({\overline{\rm AB}}^2\)이 유리수를 더해서 제곱근 평균인 선분을 \(\rm AB\)라 하고, \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\rm CD\)도 \({\overline{\rm CD}}^2\)가 유리수를 더해서 제곱근 평균인 선분이다.
선분을 변으로하는 정사각형 넓이가 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균인 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분도 넓이가 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균인 선분이다.
\({\overline{\rm AB}}^2\)이 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균인 선분을 \(\rm AB\)라 하고, \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\rm CD\)도 \({\overline{\rm CD}}^2\)가 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균인 선분이다.
넓이가 유리수에서 제곱근 평균을 뺀 것인 정사각형의 변의 길이는 두 종류의 무리수인 뺀 선분이거나 짧은 선분이다.
유리수 (직사각형 \(\rm ACIB\) 넓이)에서 무리수 (직사각형 \(\rm EDIB\) 넓이)을 뺀 (직사각형 \(\rm ACDE\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변의 길이는 무리수로 뺀 선분 또는 짧은 선분이다.
제곱근 평균에서 유리수를 뺀 수와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변의 길이는 무리수이다. 이 무리수는 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이거나 유리수를 더해서 제곱근 평균인 넓이인 선분이다.
넓이가 제곱근 평균인 직사각형 \(\rm BACI\) 넓이가 유리수인 직사가형 \(\rm DADE\)를 빼자. 그러면 남은 직사각형 \(\rm EDCI\) 넓이와 같은 정사각형 변은 무리수이며, 이 무리수는 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이거나 넓이가 유리수를 더해서 제곱근 평균인 정사각형 변이다.
넓이가 제곱근 평균에서 그것과 같은 단위로 측정할 수 없는 제곱근 평균을 빼자. 남은 것의 넓이와 같은 넓이를 갖는 정사각형 변의 길이는 두 종류의 무리수가 된다. 즉, 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이거나 또는 넓이가 제곱근 평균를 더해서 제곱근 평균이 되는 정사각형의 변이다.
넓이가 제곱근 평균인 직사각형 \(\rm BACI\)에서 (직사각형 \(\rm BACI\) 넓이)와 같은 단위로 측정할 수 없는 넓이가 제곱근 평균인 직사각형 \(\rm BADE\)를 빼자. 그러면 남은 것 직사각형 \(\rm EDCI\) 넓이와 같은 정사각형 변의 길이는 두 종류의 무리수, 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이거나 또는 넓이가 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균이 되는 정사각형의 변이다.
뺀 선분과 그 이후로 나오는 길이가 무리수 선분들은 모두 서로 다르며 제곱근 평균과도 다르다.>
길이가 유리수인 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이와 같은 넓이를 갖고 한 변이 이항 선분인 직사각형을 작도하자. 그러면 나머지 한 변은 뺀 선분이며, 이 선분은 이항 선분과 같은 단위로 측정할 수 있고, 비율도 같ㅇ며, 이항 선분과 같은 종류이니 뺀 선분이다.
길이가 인 선분이 있고, 선분 \(\rm BC\)는 이항 선분이며, 점 \(\rm D\)에 의해서 선분 \(\rm BC\)가 나누어지며 \(\overline{\rm DC}>\overline{\rm BD}\)라 하자. \(\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm EF}=a^2\)이라 하자. 그러면 \(\rm EF\)는 뺀 선분이며, \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm DB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있고 가은 비율이며, \(\overline{\rm EF}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 같은 종류이다.
길이가 유리수인 선분을 변으로 한 정사각형 넓이와 같고 한 변이 뺀 선분인 직사각형의 나머지 한 변은 이항 선분이며, 이 선분의 항들은 뺀 선분의 항들과 같은 단위로 측정할 수 있고, 비율이 같으며, 뺀 선분과 같은 번째 종류인 이항 선분이다.
길이가 유리수 \(a\)인 선분이 있다. \(\rm BD\)는 뺀 선분이며, \(\overline{\rm BD}\cdot\overline{\rm KH}=a^2\)이라 하자. 즉, 길이가 유리수 \(a\)에 대하여 넓이가 \(a^2\)이고 한 변이 \(\rm BD\)인 직사각형 \(\rm BDKH\)의 나머지 한 변 \(\rm KH\)는 이항 선분이며 \(\overline{\rm KH}\)의 항은 \(\overline{\rm BD}\)와 항과 같은 단위로 측정할 수 있고, 비율이 같으며, \(\overline{\rm KH}\)와 \(\overline{\rm BD}\)는 같은 종류의 성분이다.
뺀 선분과 이상 선분을 두 변으로 하는 직사각형에 대하여, 뺀 선분과 이항 선분의 항들은 같은 단위로 측정할 수 있고 그 비율이 같으면, 그 직사각형 넓이와 같은 정사각형의 변의 길이는 유리수이다.
뺀 선분 \(\rm AB\)와 이항 선분 \(\rm CD\)에 대하하여, \(\overline{\rm CE}\)는 \(\overline{\rm CD}\)의 항 중 긴 선분이며, 이항 선분의 항 \(\overline{\rm CE}\), \(\overline{\rm ED}\)는 뺀 선분의 항 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으며 비율이 같다고 하자. \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm CD}=g^2\)라 하자. 그러면 \(g^2\)는 유리수이다.
이 명제는 [원론]에서 이후 명제에서 사용되지 않는다.
제곱근 평균인 선분에서 길이가 무리수인 선분들을 수없이 많이 만들 수 있다. 그리고 이들 무리수 선분들은 모두 서로 다르다.
길이가 제곱근 평균인 \(a\)인 선분에 대하여, \(a\)에서 시작하여 길이가 무리수인 많은 선분들이 만들 수 있으며 이 무리수 선분들은 모두 다르다.