X 권
명제
짧은 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이와 같은 한 변의 길이가 유리수인 직사각형을 작도하면 나머지 한 변은 네 번째 뺀 선분이다.
짧은 선분 \(\rm AB\)와 길이가 유리수인 선분 \(\rm CD\)가 있다. (직사각형 \(\rm CDEF\) 넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2\)인 한 변의 \(\overline{\rm CD}\)인 직사각형 \(\rm CDEF\)의 나머지 한 변 \(\rm CF\)는 네 번째 뺀 선분이다.
짧은 선분 \(\rm AB\)와 길이가 유리수인 선분 \(\rm CD\)가 있다. (직사각형 \(\rm CDEF\) 넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2\)인 한 변의 \(\overline{\rm CD}\)인 직사각형 \(\rm CDEF\)의 나머지 한 변 \(\rm CF\)는 네 번째 뺀 선분임을 보이자.
선분 \(\rm AB\)와 일직선이 되도록 선분 \(\rm BG\)를 붙이자. 그러면 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GB}\)는 단 \({\overline{\rm AG}}^2\)와 \({\overline{\rm GB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)은 유리수이고, \(2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)는 제곱근 평균이다 [X권 명제 76]
(직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2\)이고 한 변의 길이가 \(\overline{\rm CD}\)인 직사각형 \(\rm CDHK\)를 작도하자. 그러면 나머지 한 변의 길이는 \(\overline{\rm CK}\)이다. (직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)\(={\overline{\rm GB}}^2\)인 직사각형 \(\rm KHLM\)를 작도하자. 그러면 나머지 한 변의 길이는 \(\overline{\rm KM}\)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)이다.
\({\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)이므로 유리수이므로 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)는 유리수이다. 직사각형 \(\rm CDLM\)의 두 변의 길이가 유리수 \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm CM}\)이므로 \(\overline{\rm CM}\)은 유리수이며 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 20]
(직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)이고 (직사각형 \(\rm CDEF\) 넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2\)이므로 (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)이다. [II권 명제 7]
선분 \(\rm FM\)의 중점을 \(\rm N\)이라 하자. 그리고 선분 \(\rm CD\)에 평행하도록 선분 \(\rm NO\)를 긋자. 그러면 (직사각형 \(\rm FEON\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2\), (직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(={\overline{\rm GB}}^2\)이다. 그런데 \(2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}=\)(직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)은 제곱근 평균이다. 직사각형 \(\rm FELM\)의 두 변이 유리수 \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm FM}\)이므로 \(\overline{\rm FM}\)은 유리수이며 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
\({\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)는 유리수이고, \(2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)도 제곱근 평균이므로 \({\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)와 \(2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다.
그런데 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)이고, (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)이므로 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)과 (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 없다.
그런데 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)\(=\overline{\rm CM}:\overline{\rm FM}\) [VI권 명제 1] 그러므로 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이), (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이) 모두 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm CM}\), \(\overline{\rm FM}\)도 유리수이며 단지 \({\overline{\rm CM}}^2\)과 \({\overline{\rm FM}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm CF}\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73]
\(\overline{\rm CF}\)가 네 번째 뺀 선분임을 보이자.
\({\overline{\rm AG}}^2\), \({\overline{\rm GB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그런데 (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2\)이고, (직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)\(={\overline{\rm GB}}^2\)이므로 (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그런데 (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)\(=\overline{\rm CK}:\overline{\rm KM}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm CK}\), \(\overline{\rm KM}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제11]
\(\left(\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\right)^2={\overline{\rm AG}}^2\cdot{\overline{\rm GB}}^2\)이며, \({\overline{\rm AG}}^2=\)(직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)이고 \({\overline{\rm GB}}^2=\)(직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)이며, \(\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}=\)(직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\({}^2=\)(직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(\cdot\)(직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)이다. 따라서 (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)이다
그런데 (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(=\overline{\rm CK}:\overline{\rm NM}\)이고, (직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)\(=\overline{\rm NM}:\overline{\rm KM}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm CK}:\overline{\rm NM}=\overline{\rm NM}:\overline{\rm KM}\)이다. [V권 명제 11] 그러므로 \(\overline{\rm CK}\cdot\overline{\rm KM}={\overline{\rm NM}}^2=\frac14\cdot{\overline{\rm FM}}^2\)이다. [VI권 명제 17]
그러므로 \(\overline{\rm CM}\), \(\overline{\rm FM}\)은 유리수이며 \(\overline{\rm CK}\cdot\overline{\rm KM}=\frac41\cdot{\overline{\rm FM}}^2\)이며 정사각형을 뺀 모양이고, 이 두 선분을 변으로하는 직사각형의 한 변을 \(\overline{\rm CM}\)이라 하면 \(\overline{\rm CM}\)을 같은 단위로 측정할 수 없는 두 선분으로 나누어지니 \({\overline{\rm CM}}^2={\overline{\rm MF}}^2+\)(\(\overline{\rm CM}\)과 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로하는 정사각형 넓이)이다. [X권 명제 18] 그리고 \(\overline{\rm CM}\)은 유리수 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm CF}\)는 네 번째 뺀 선분이다. [X권 정의 III 4]
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 111]에서 사용된다.