X 권
명제
보조명제
같은 단위로 측정할 수 있는 선분들이 한 변인 정사각형들의 넓이는 반드시 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러나 정사각형들의 넓이가 같은 단위로 측정할 수 있다고 해서 정사각형의 한 변의 길이들은 반드시 같은 단위로 측정할 수 있는 것은 아니다. 즉, 같은 단위로 측정할 수 있는 경도 있고 같이 단위로 측정할 수 없는 경우도 있음을 보였다. 그러므로 길이가 유리수라고 하였을 때, 그 유리수와 같이 단위로 측정할 수 있는 선분 길이는 유리수라고 하며, 길이 뿐 만아니라 그 길이인 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이도 길의 유리수와 같은 단위로 측정할 수 있다는 것은 자명하다. 왜냐하면 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 길이인 선분을 한 변으로 하는 정사각형들의 넓이도 반드시 같은 단위로 측정할 수 있기 때문이다.
길이가 유리수인 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 어떤 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이가 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 두 선분 길이의 비가 유리수이면 선분의 길이와 넓이 둘 다 모두 같은 단위로 측정할 수 있다. 그런데 두 선분의 길이를 같은 단위로 측정할 수 없으며 두 선분의 길이의 비가 유리수라고 하면, 길이는 같은 단위로 측정할 수 없으며 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있다.