애플릿

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증명

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길이가 유리수인 선분 \(a\)에 대하여, \(\overline{\rm CG}\)와 \(a\)를 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm CG}\)는 유리수이다. 두 제곱수 \(\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm EF}\)에 대하여 \(\overline{\rm FD}=\overline{\rm DE}-\overline{\rm EF}\)는 제곱수가 아니라고 하자.

\(\overline{\rm FD}\cdot\overline{\rm DE}={\overline{\rm CG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)가 되도록 하자. [X권 명제 6 따름 명제] 그러면 \({\overline{\rm GC}}^2\)과 \({\overline{\rm GB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6]

그런데 \({\overline{\rm CG}}^2\)은 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm GB}}^2\)도 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm GB}\)도 유리수이다.

그리고 \({\overline{\rm CG}}^2:{\overline{\rm GB}}^2\)이 제곱수의 비율이 아니므로 \(\overline{\rm CG}\)와 \(\overline{\rm GB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.

그리고 \(\overline{\rm CG}\)와 \(\overline{\rm GB}\)는 모두 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm CG}\)와 \(\overline{\rm GB}\)는 유리수이고 단 \({\overline{\rm CG}}^2:{\overline{\rm GB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm BC}\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73]

다음으로 \(\overline{\rm BC}\)가 두 번째 선분임을 보이자.

\({\overline{\rm BG}}^2={\overline{\rm GC}}^2+h^2\)이 되도록 길이가 \(h\)인 선분을 그리자. \({\overline{\rm BG}}^2:{\overline{\rm GC}}^2=\overline{\rm ED}:\overline{\rm DF}\)이므로 전자와 뺀 것과의 비례식에 따라 \({\overline{\rm BG}}^2:h^2=\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}\)이다. [V권 명제 19 따름 명제]

그런데 \(\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm EF}\) 모두 제곱수이다. 그러므로 \({\overline{\rm BG}}^2:h^2\)는 제곱수의 비율과 같다. 그러므로 \(\overline{\rm BG}\)와 \(h\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 9]

그런데 \({\overline{\rm BG}}^2={\overline{\rm GC}}^2+h^2\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm BG}}^2={\overline{\rm GC}}^2+\)(\(\overline{\rm BG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분이 한 변인 정사각형 넓이)이다. 그리고 붙인 선분 \(\overline{\rm CG}\)는 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm BG}\)가 두 번째 뺀 선분이다. [X권 정의 II 2] 그러므로 두 번째 선분 \(\rm BC\)를 작도하였다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이후 [원론]에서 사용되지 않는다.

\(m\), \(n\)은 양의 정수이며, \(\rho\)는 유리수, \(k\)는 양의 정수라 하자.

\(a=\rho\)이고 \(\overline{CG}=\rho*k\)이다.

\({\overline{\rm DE}}^2=m^2\), \({\overline{\rm FD}}^2=n^2\)이고 \(m^2-n^2\)은 제곱수가 아니라 하자.

\(\left(m^2-n^2\right):m^2=k^2\rho^2:x^2\)

\(x=k\rho \cdot \frac{m}{\sqrt{m^2-n^2}}\)이며 \(\lambda=\frac{n}{m}\)이라 하면 \(x=\frac{k\rho}{1-\lambda^2}\)이다.

즉,두 번째 뺀 선분 \(\overline{\rm BC}=x-k\rho=\frac{k\rho}{\sqrt{1-\lambda^2}}-k\rho\)이다.

따라서 \(x^2-\frac{k\rho}{\sqrt{1-\lambda^2}}+\frac{\lambda^2}{\sqrt{1-\lambda^2}}k^2\rho^2=0\)의 해 중에서 작은 해가 바로 두 번째 뺀 선분이다.