X 권
명제
위의 명제에서 위에 다룬 길이가 무리수인 선분들은 그것들을 더하여 요구하는 조건들을 만족하도록 나누는 방법은 단 한 가지 뿐이다. 이 보조 명제는 다음 명제들을 증명하자.
선분 \(\rm AB\)를 그리고, 점 \(\rm C\), \(\rm D\)를 잡아서 이 선분의 길이가 다르게 자르자. 그리고 \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm DB}\)이라고 하자. 그러면 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2<{\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)이다.
선분 \(\rm AB\)를 그리고, 점 \(\rm C\), \(\rm D\)를 잡아서 이 선분의 길이가 다르게 자르자. 그리고 \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm DB}\)이라고 하자. 그러면 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2<{\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)임을 보이자.
선분 \(\rm AB\)의 중점 \(\rm E\)를 잡자. \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm DB}\)이므로
\(\overline{\rm AC}-\overline{\rm DC}>\overline{\rm DB}-\overline{\rm DC}\)
\(\overline{\rm AD}>\overline{\rm CB}\)
이다. 그런데 \(\overline{\rm AE}=\overline{\rm EB}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm DE}<\overline{\rm EC}\)이다. 그러므로 두 점 \(\rm C\), \(\rm D\)는 점 \(\rm E\)로 부터 길이가 다르다.
\(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}+{\overline{\rm EC}}^2={\overline{\rm EB}}^2\)이다. [II권 명제 5] 또한 \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}+{\overline{\rm DE}}^2={\overline{\rm EB}}^2\)이므로 [II권 명제 5] \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}+{\overline{\rm EC}}^2=\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}+{\overline{\rm DC}}^2\)
그런데 \({\overline{\rm DE}}^2<{\overline{\rm EC}}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}<\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)이다. 그러므로 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}< 2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)이다.
그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2 > {\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)이다.
Q.E.D.
이 보조명제는 [X권 명제 44]에서 사용된다.