애플릿

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증명

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선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 그리고, 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$를 잡아서 이 선분의 길이가 다르게 자르자. 그리고 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}>\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}$이라고 하자. 그러면 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}^2+{\overline{\mathrm{C}\mathrm{B}}}^2<{\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}}^2+{\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}}^2$임을 보이자.

선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$의 중점 $\mathrm{E}$를 잡자. $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}>\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}$이므로

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}-\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}>\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}-\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}$

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}>\overline{\mathrm{C}\mathrm{B}}$

이다. 그런데 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}=\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}<\overline{\mathrm{E}\mathrm{C}}$이다. 그러므로 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$는 점 $\mathrm{E}$로 부터 길이가 다르다.

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}\cdot \overline{\mathrm{C}\mathrm{B}}+{\overline{\mathrm{E}\mathrm{C}}}^2={\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$이다. [II권 명제 5] 또한 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}\cdot \overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}+{\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}}^2={\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$이므로 [II권 명제 5] $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}\cdot \overline{\mathrm{C}\mathrm{B}}+{\overline{\mathrm{E}\mathrm{C}}}^2=\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}\cdot \overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}+{\overline{\mathrm{D}\mathrm{C}}}^2$

그런데 ${\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}}^2<{\overline{\mathrm{E}\mathrm{C}}}^2$이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}\cdot \overline{\mathrm{C}\mathrm{B}}<\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}\cdot \overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}$이다. 그러므로 $2\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}\cdot \overline{\mathrm{C}\mathrm{B}}<2\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}\cdot \overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}$이다.

그러므로 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}^2+{\overline{\mathrm{C}\mathrm{B}}}^2>{\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}}^2+{\overline{\mathrm{D}\mathrm{B}}}^2$이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 보조명제는 [X권 명제 44]에서 사용된다.