애플릿

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증명

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길이가 유리수 \(a\)인 주어진 선분이 있다. 세 수 \(e\), \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\)를 잡자. 이 세 수는 어느 두 수의 비율도 제곱수와 제곱수의 비와 같지 않고, \(\overline{\rm CB}:\overline{\rm BD}\)의 비율도 제곱수와 제곱수의 비율과 같지 않다고 하자.

\(e:\overline{\rm BC}=a^2:{\overline{\rm FG}}^2\)이 되게 하고, \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}={\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)이 되도록 하자. [X권 명제 6 따름 명제]

\(e:\overline{\rm BC}=a^2:{\overline{\rm FG}}^2\)이므로 \(a^2\)과 \({\overline{\rm FG}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6] 그런데 \(a^2\)은 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm FG}}^2\)도 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)도 유리수이다.

\(e:\overline{\rm BC}\)은 제곱수와 제곱수의 비율이 아니므로 \(a^2:{\overline{\rm FG}}^2\)도 제곱수와 제곱수의 비율이 아니다. 그러므로 \(a\)와 \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]

\(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}={\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)이므로 \({\overline{\rm FG}}^2\)와 \({\overline{\rm GH}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6] 그런데 \({\overline{\rm FG}}^2\)는 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm GH}}^2\)도 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm GH}\)도 유리수이다.

그리고 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}\)는 제곱수와 제곱수의 비율이 아니므로 \({\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)도 제곱수와 제곱수의 비율이 아니다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]

그리고 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm GH}\)은 유리수이고 단 \({\overline{\rm FG}}^2\), \({\overline{\rm GH}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm FH}\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73]

다음으로 \(\overline{\rm FH}\)가 여섯 번째 뺀 선분임을 보이자.

\(e:\overline{\rm BC}=a^2:{\overline{\rm FG}}^2\)이고 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}={\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)이므로 같은 위치에 있는 비율에 의해서 \(e:\overline{\rm CD}=a^2:{\overline{\rm GH}}^2\)이다. [V권 명제 22]

그런데 \(e:\overline{\rm CD}\)은 제곱수와 제곱수의 비율이 아니다. 그러므로 \(a^2:{\overline{\rm GH}}^2\)도 제곱수와 제곱수의 비율이 아니다. 그러므로 \(a\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]

그러므로 \(\overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm GH}\)는 모두 유리수이고 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.

\({\overline{\rm FG}}^2={\overline{\rm GH}}^2+h^2\)이 길이가 \(h\)인 선분을 작도하자.

\(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}={\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)이므로 전자와 뺀 것과의 비례식에 의해서 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm BD}={\overline{\rm FG}}^2:k^2\)이다.

그런데 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm BD}\)는 제곱수와 제곱수의 비가 아니다. 그러므로 \({\overline{\rm FG}}^2:k^2\)도 제곱수와 제곱수의 비가 아니다. [X권 명제 9] 그리고 \({\overline{\rm FG}}^2={\overline{\rm GH}}^2+h^2\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm FG}}^2={\overline{\rm GH}}^2+\)(\(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다.

그리고 \(\overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm GH}\) 모두 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm FH}\)는 여섯 번째 뺀 선분이다. [X권 정의 III 6]

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이후 [원론]에서 사용되지 않는다.

\(\rho\)는 유리수, 세 자연수 \(e\), \(m\), \(n\)은 서로 두 비율 모두 제곱수와 제곱수의 비율이 아니며 (\left(m+n\right):n\)도 제곱수와 제곱수의 비율이 아니다.

\(a=\rho\), \(\overline{\rm BC}=m+n\), \(\overline{\rm CD}=n\), \(e=p\)이며

\(x=\rho\sqrt{\frac{m+n}{p}}\), \(y=\rho\sqrt{\frac{n}{p}}\)

\(k=\frac{m+n}{p}\)

\(x-y=\rho\sqrt{k}-\rho\sqrt{\lambda}\) (단, \(\lambda=\frac np\)) 이것이 여섯 번째 뺀 선분이다.

이것은 \(x^2-2\sqrt{k}\rho x + (k-\lambda)\rho^2=0\)의 두 근중 작은 근이다.