애플릿

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증명

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두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)를 \(\overline{\rm AC}:\overline{\rm CB}\)가 제곱수 비와 같고, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}\)는 제곱수 비가 아니도록 잡자. [X권 명제 28 따름 명제 1] 유리수 \(d\)에 대하여, 선분 \(\rm EF\)를 \(d\)와 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있도록 잡자. 그러면 \(\overline{\rm EF}\)는 유리수이다.

선분 \(\rm FG\)를 \(\overline{\rm AC}:\overline{\rm AB}={\overline{\rm EF}}^2:{\overline{\rm FG}}^2\)가 되도록 잡자. [X권 명제 6 따름명제] 그러면 \({\overline{\rm EF}}^2\), \({\overline{\rm FG}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6] 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)도 유리수이다.

\(\overline{\rm AC}:\overline{\rm AB}\)도 제곱수의 비가 아니므로 \({\overline{\rm EF}}^2:{\overline{\rm FG}}^2\)도 제곱수의 비가 아니다. 그러므로 \(\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]

그러므로 \(\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm FG}\)는 \({\overline{\rm EF}}^2\), \({\overline{\rm FG}}^2\) 만 같은 단위로 측정할 수 있는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm EG}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 36]

\(\overline{\rm EG}\)이 두 번째 이항 선분임을 보이자.

역으로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}={\overline{\rm GF}}^2:{\overline{\rm EF}}^2\)이고, \(\overline{\rm AB}>\overline{\rm AC}\)이므로 \({\overline{\rm GF}}^2>{\overline{\rm EF}}^2\)이다.

\({\overline{\rm EF}}^2+h^2={\overline{\rm GF}}^2\)을 만족하는 \(h\)를 잡자. 그러면 뺀 비례식에 의해서 성질에 의해서, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}={\overline{\rm FG}}^2:h^2\) [V권 명제 19 따름명제]

그런데 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}\)는 제곱수의 비와 같다. 그러므로 \({\overline{\rm FG}}^2:h^2\)도 제곱수의 비와 같다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)와 \(h\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 9]

그러므로 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 \(h\)에 대하여 \({\overline{\rm FG}}^2={\overline{\rm EF}}^2+h^2\)를 만족한다.

그리고 \(\overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm EF}\)는 \({\overline{\rm FG}}^2\), \({\overline{\rm EF}}^2\) 만 같은 단위로 측정할 수 있는 유리수이고, 짧은 선분 \(\rm EF\)는 주어진 유리수 \(d\)와 같은 단위로 측정할 수 있다.

그러므로 \(\overline{\rm EG}\)는 두 번째 이항 선분이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이후 원론에서 더 이상 사용되지 않는다.

이를 대수적으로 나타내면 다음과 같다. \(\rho\), \(m\), \(n\), \(k\)은 양의 정수이다.

\(\overline{\rm AC}=\rho\left(m^2-n^2\right)\), \(\overline{\rm CB}=\rho n^2\)

\(d=\rho\)

\(\displaystyle\overline{\rm EF}=k\rho\), \(\overline{\rm FG}=k\rho \cdot \frac{m}{\sqrt{m^2-n^2}}\)

\(\displaystyle h=k\rho\sqrt{\frac{m^2}{m^2-n^2}-1}\)