X 권
명제
네제곱근인 두 선분을 각각 한 변으로 하는 정사각형 넓이들은 같은 단위로 측정할 수 있고, 그들로 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이도 네제곱근이라 하자. 두 선분을 더한 전체 선분은 무리수이다. 이것을 두 개의 두 번째 네제곱근이라 하자.
길이가 네제곱근인 두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)(\(=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\))는 무리수이다.
길이가 네제곱근인 두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)(\(=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\))는 무리수임을 보이자.
유리수인 \(\overline{\rm DE}\)를 그리자. \({\overline{\rm AC}}^2=\overline{\rm DE}\cdot\overline{\rm DG}\)가 되도록 직사각형 \(\rm DEFG\)을 작도하자. [I권 명제 44]
\({\overline{\rm AC}}^2=\left(\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\right)={\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2+2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)이다. [II권 명제 4] AB^2+BC^2=DE*DH가 되도록 직사각형 DEIH를 작도하자. 그러면 (직사각형 \(\rm HIFG\) 넓이)\(=2\cdot \overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}\)이다.
\(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\) 모두 네제곱근이므로, \(\left(\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\right)^2\)은 네제곱근 평균이다. 그런데 가정에서 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)도 네제곱근 평균이라 가정하고 (직사각형 \(\rm{DEIF}\) 넓이)\(=\overline{\rm DE}\cdot\overline{\rm DG}=2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm DEIH\) 넓이)\(=\overline{\rm DE}\cdot\overline{\rm DG}\), (직사각형 \(\rm HIFG\) 넓이)\(=2\cdot \overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}\) 모두 네제곱근 평균이다. 이 두 직사각형은 한 변의 길이가 유리수 \(\overline{\rm DE}\)이므로 \(\overline{\rm DH}\), \(\overline{\rm HG}\) 모두 \(\overline{\rm DE}\)과 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그런데 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\)과 같은 단위로 측정할 수 있고, [X권 명제 15], \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)과 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6]
그러므로 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그런데 (직사각형 \(\rm DEIH\) 넓이)\(=\overline{\rm DE}\cdot\overline{\rm DH}={\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)이고, (직사각형 \(\rm HIFG\) 넓이)\(=\overline{\rm HI}\cdot\overline{\rm HG}=2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm DEIH\) 넓이)\(=\overline{\rm DE}\cdot\overline{\rm DG}\)와 (직사각형 \(\rm HIFG\) 넓이)\(=\overline{\rm HI}\cdot\overline{\rm HG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 따라서 \(\overline{\rm DH}\)와 \(\overline{\rm HG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11]
따라서 \(\overline{\rm DH}\)와 \(\overline{\rm HG}\) 모두 \({\overline{\rm DH}}^2\)와 \({\overline{\rm HG}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있으며, 따라서 \(\overline{\rm DG}\)는 무리수이다. [X권 명제 36]
그런데 \(\overline{\rm DE}\)는 유리수이다. 유리수와 무리수의 곱은 무리수이다. [X권 명제 20]
그러므로 (직사각형 \(\rm DEFG\) 넓이)\(=\overline{\rm DE}\cdot\overline{\rm DG}\)는 무리수이다. 이 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이다. [X권 정의 4]
그런데 (직사각형 \(\rm DEFG\) 넓이)\(=\overline{\rm DE}\cdot\overline{\rm DG}={\overline{\rm AC}}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다.
이것을 두 개의 두 번째 네제곱근 평균이라 한다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 44], [X권 명제 56], [X권 명제 62], [X권 명제 67]에서 사용된다.