X 권
명제
보조명제
어떤 선분 위에 정사각형을 뺀 평행사변형을 붙이면 그 평행사변형의 넓이는 어떤 선분이 나누어진 두 선분이 두 변인 직사각형의 넓이와 같다.
선분 \(\rm AB\) 위에 정사각형 \(\rm DCBF\)를 뺀 평행사변형 \(\rm ACDE\)를 붙이자. 그러면 (평행사변형 \(\rm ACDE\) 넓이) \(= \overline{\rm AC} \cdot \overline{\rm CB}\)이다.
X 권
명제
어떤 선분 위에 정사각형을 뺀 평행사변형을 붙이면 그 평행사변형의 넓이는 어떤 선분이 나누어진 두 선분이 두 변인 직사각형의 넓이와 같다.
선분 \(\rm AB\) 위에 정사각형 \(\rm DCBF\)를 뺀 평행사변형 \(\rm ACDE\)를 붙이자. 그러면 (평행사변형 \(\rm ACDE\) 넓이) \(= \overline{\rm AC} \cdot \overline{\rm CB}\)이다.
이것은 자명하다. 왜냐하면 \(\rm DCBF\)는 정사각형이므로 \(\overline{\rm DC}=\overline{\rm CB}\)이다. 그리고 평행사변형 \(\rm ACDE\)는 직사각형이다. 직사각형 \(\rm ACDE\)의 두 변이 변 \(\rm AC\), 변 \(\rm CD\)이므로 (평행사변형 \(\rm ACDE\) 넓이) \(=\) (직사각형 \(\rm ACDE\) 넓이)\(=\overline{\rm AC} \cdot \overline{\rm CB}\)이다.
Q.E.D.
길이가 다른 두 선분이 있다. 긴 선분에 정사각형을 뺀 평행사변형을 붙였고, 그 평행사변형의 넓이는 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이의 \(\frac 14\)이라고 하자. 평행사변형이 원래 선분을 나누었는데, 만약 그 두 선분이 같은 단위로 측정할 수 있다면 긴 선분으로 만든 정사각형 넓이는 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이와 긴 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합과 같다.
긴 선분에 정사각형을 뺀 평행사변형을 붙였고, 그 평행사변형의 넓이는 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이의 \(\frac 14\)이라고 하자. 긴 선분으로 만든 정사각형 넓이는 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이와 긴 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합과 같다면, 이 평행사변형이 긴 선분을 나눈 두 선분의 길이는 같은 단위로 측정할 수 있다.
\(a< \overline{\rm BC}\)인 두 선분 \(a\), \(\rm BC\)가 있다.
선분 \(\rm BC\) 위에 어떤 평행사변형을 놓았는데, 그 평행사변형은 (평행사변형 넓이)\(=\frac14 a^2=\left(\frac12 a\right)^2\)이라 하고 정사각형을 뺀 직사각형이라고 하자. 그 직사각형은 (직사각형 넓이)\(=\overline{\rm BD} \cdot \overline{\rm DC}\)이다. [보조명제] 그리고 \(\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm DC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+ \)(\(\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이)이다.
\({\overline{\rm BC}}^2=a^2+\) (\(\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이)이라고 하자. (평행사변형 넓이)\()=\frac14 a^2\)인 평행사변형을 선분 \(\rm BC\) 위에 놓았는데, 그 평행사변형은 정사각형을 뺀 모양이며, 두 변이 \(\rm BD\), \(\rm DC\)인 직사각형이라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm DC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
\(a< \overline{\rm BC}\)인 두 선분 \(a\), \(\rm BC\)가 있다.
선분 \(\rm BC\) 위에 어떤 평행사변형을 놓았는데, 그 평행사변형은 (평행사변형 넓이)\(=\frac14 a^2=\left(\frac12 a\right)^2\)이라 하고 정사각형을 뺀 직사각형이라고 하자. 그 직사각형은 (직사각형 넓이)\(=\overline{\rm BD} \cdot \overline{\rm DC}\)이다. [보조명제] 그리고 \(\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm DC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자.
그러면 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+ \)(\(\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이)임을 보여야 한다.
선분 \(\rm BC\)의 중점을 \(\rm E\)라 하자. \(\overline{\rm EF}=\overline{\rm DE}\)인 점 \(F\)를 잡자. 그러면 \(\overline{\rm DC}=\overline{\rm BF}\)이다. [I권 명제 10, I권 명제 3]
선분 \(\rm BC\)의 중점이 \(\rm E\)이고 점 \(\rm D\)는 선분 \(\rm BC\)를 길이가 다른 두 선분으로 나누었으므로 \(\overline{\rm BD}\cdot \overline{\rm DC}+{\overline{\rm ED}}^2={\overline{\rm EC}}^2\)이다. [II권 명제 5]/p>
양 변에 \(4\)를 곱하자. 그러면 \(4\cdot \overline{\rm BD}\cdot \overline{\rm DC}+4\cdot {\overline{\rm ED}}^2 =4\cdot {\overline{\rm EC}}^2\)이다.
그런데 \(a^2=4 \cdot \overline{\rm BD}\cdot \overline{\rm DC}\)이다.
또한 \({\overline{\rm DF}}^2=4\cdot {\overline{\rm DE}}^2\)이다. 왜냐하면 \(\overline{\rm DF}=2\cdot \overline{\rm DE}\)이기 때문이다.
그리고 \({\overline{\rm BC}}^2=4\cdot \overline{\rm EC}^2\)이다. 왜냐하면 \(\overline{\rm BC}=2\cdot \overline{\rm CE}\)이기 때문이다.
그러므로 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+\overline{\rm DF}^2\)이다.
이제 \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm DF}\)가 같은 단위로 측정할 수 있음을 보이자.
\(\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm DC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로, \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 15]
그런데 \(\overline{\rm CD}\)는 \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm BF}\)를 동시에 나눌 수 있다. 왜냐하면 \(\overline{\rm CD}=\overline{\rm BF}\)이기 때문이다. [X권 명제 6]
그러므로 \(\overline{\rm BC}\)도 \(\overline{\rm BF}\), \(\overline{\rm CD}\)를 동시에 나눌 수 있다. [X권 명제 12]
그러므로 \(\overline{\rm BC}\)는 \(\overline{\rm BC}\)에서 \(\overline{\rm BF}\), \(\overline{\rm CD}\)를 뺀 \(\overline{\rm FD}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 15]
그러므로 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+\)(\(\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이)이다.
\({\overline{\rm BC}}^2=a^2+\) (\(\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이)이라고 하자. (평행사변형 넓이)\()=\frac14 a^2\)인 평행사변형을 선분 \(\rm BC\) 위에 놓았는데, 그 평행사변형은 정사각형을 뺀 모양이며, 두 변이 \(\rm BD\), \(\rm DC\)인 직사각형이라고 하자.
그러면 \(\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm DC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있음을 보여야 한다.
같은 방법으로 만들자. 선분 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+{\overline{\rm FD}}^2\)임을 보일 수 있다.
그런데 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+\)(\(\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이)이라고 가정하였다. 그러므로 \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm FD}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러므로 \(\overline{\rm BC}\)는 \(\overline{\rm BC}-\overline{\rm FD}\)와도 같은 단위로 측정할 수 있으며 [X권 명제 15], \(\overline{\rm BC}-\overline{\rm FD}=\overline{\rm BF}+\overline{\rm DC}\)이다.
그런데 \(\overline{\rm BF}+\overline{\rm DC}\), \(\overline{\rm DC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6]
그러므로 \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12]
그러므로 비례식 빼기 성질에 의해서 \(\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm DC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.[X권 명제 15]
그러므로 길이가 다른 두 선분이 있다. 긴 선분에 정사각형을 뺀 평행사변형을 붙였고, 그 평행사변형의 넓이는 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이의 \(\frac 14\)이라고 하자. 평행사변형이 원래 선분을 나누었는데, 만약 그 두 선분이 같은 단위로 측정할 수 있다면 긴 선분으로 만든 정사각형 넓이는 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이와 긴 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합과 같다.
긴 선분에 정사각형을 뺀 평행사변형을 붙였고, 그 평행사변형의 넓이는 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이의 \(\frac 14\)이라고 하자. 긴 선분으로 만든 정사각형 넓이는 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이와 긴 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합과 같다면, 이 평행사변형이 긴 선분을 나눈 두 선분의 길이는 같은 단위로 측정할 수 있다.
Q.E.D.
이 명제는 \(x^2=bx-\frac{c^2}4\)을 작도한 것이다. 단, \(b=\overline{\rm BC}\), \(c=a\)이다. 해는 \(x=\overline{\rm DC}=\frac{b-\sqrt{b^2-c^2}}2\)이다. 이 명제는 \(\sqrt{b^2-c^2}:b\)이 어떤 두 수의 비일 필요충분조건은 \(b:x\)도 어떤 두 수의 비인 경우이다. \(\frac xb=\frac12 - \frac{\sqrt{b^2-c^2}}b\)이기 때문에 어떤 두 수의 비임은 자명하다.
이 명제는 다음 명에서 사용된다. 또한 [X권 명제 54]를 시작으로 [X권]의 몇 개의 명제에서 사용된다.