증명

---

제곱근 평균인 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이와 같은 한 변의 길이가 유리수인인 직사각형을 작도하면 나머지 한 변은 유리수이며 직사각형의 두 변의 길이는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]

그러나 이항 선분을 변으로 하는 정사각형과 넓이가 같도록 길이가 유리수인 한 변을 갖는 직사각형을 만들면 다른 한 변의 길이는 첫 번째 이항 선분이다. [X권 명제 60]

첫 번째 네제곱근 평균 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이와 같은 넓이를 갖는 한 변의 길이가 유리수인 한 변을 갖는 직사각형을 만들면 나머지 한 변은 두 번째 이항 선분이다. [X권 명제 61]

두 번째 네제곱근 평균 선분이 변인 정사각형 넓이와 같고 한 변의 길이가 유리수인 직사각형을 만들면 나머지 다른 한 변의 길이는 세 번째 이항 선분이다. [X권 명제 62]

큰 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 같고 한 변의 길이가 유리수인 직사각형을 만들면 나머지 다른 한 변의 길이는 네 번째 이항 선분이다. [X권 명제 63]

유리수 넓이와 제곱근 평균 넓이를 더한 것을 변으로 하는 정사각형 넓이와 한 변의 길이가 유리수인 직사각형을 만들면 나머지 다른 한 변의 길이는 다섯 번째 이항 선분이다. [X권 명제 64]

제곱근 평균인 두 넓이를 더한 길이를 갖는 변으로 하는 정사각형 넓이와 한 변의 길이가 유리수인 직사각형을 만들면 나머지 다른 한 변의 길이는 여섯 번째 이항 선분이다. [X권 명제 65]

위에서 구한 나머지 다른 한 변들은 서로 모두 다르다. 처음의 나머지 다른 한 변의 길이는 유리수라고 하였으니 다르며, 이들 서로도 종류가 각각 다르다. 그러므로 길이가 무리수들은 모두 서로 다르다.

Q.E.D.