애플릿

---

---

증명

---

두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)를 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}\)와 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}\) 모두 제곱수의 비와 같지 않게 잡자. 유리수 \(d\)에 대하여, 선분 \(\rm EF\)를 \(d\)와 같은 단위로 측정할 수 있도록 잡자. 그러면 \(\overline{\rm EF}\)도 유리수이다.

\(\overline{\rm AC}:\overline{\rm AB}={\overline{\rm EF}}^2:{\overline{\rm FG}}^2\)가 되도록 선분 \(\rm FG\)를 잡자. [X권 명제 6 따름명제] 그런데 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}\)가 제곱수의 비가 아니므로 \({\overline{\rm EF}}^2:{\overline{\rm EG}}^2\)도 제곱수의 비가 아니다. 그러므로 \(\overline{\rm EF}\)와 \(\overline{\rm FG}\)는 \({\overline{\rm EF}}^2\)와 \({\overline{\rm FG}}^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있는 유리수이다. [X권 명제 9] 그러므로 \(\overline{\rm EG}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 36]

\(\overline{\rm EG}\)가 이항 선분임을 보이자.

\(\overline{\rm AC}:\overline{\rm AB}={\overline{\rm EF}}^2:{\overline{\rm FG}}^2\)이므로 역 비율 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}={\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm EF}}^2\)이 성립한다. 그러므로 \({\overline{\rm FG}}^2>{\overline{\rm EF}}^2\)이다. [V권 명제 7 따름명제]

\({\overline{\rm F}}^2+h^2={\overline{\rm FG}}^2\)가 되도록 \(h\)를 잡자. 그러면 전자와 뺀 비례식에 의해서 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}={\overline{\rm FG}}^2:h^2\)이다. [X권 명제 19 따름명제]

\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}\)가 제곱수의 비와 같지 않으므로 \({\overline{\rm FG}}^2:h^2\)도 제곱수의 비가 아니다. 따라서 \(\overline{\rm FG}\)와 \(h\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.

그러므로 \({\overline{\rm FG}}^2\)은 \({\overline{\rm FE}}^2\)와 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 길이를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합이다. 그러므로 \(\overline{\rm GF}\)와 \(\overline{\rm FE}\)은 유리수이며 \({\overline{\rm GF}}^2\)와 \({\overline{\rm FE}}^2\) 만 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm EG}\)는 다섯 번째 이항 선분이다.

Q.E.D.

부연설명

---

이 명제는 이후 원론에서 더 이상 사용되지 않는다.

이를 대수적으로 나타내면 다음과 같다. \(\rho\), \(k\), \(m\), \(n\)은 양의 정수이고, \(m:m+n\)과 \(n:m+n\) 모두 제곱수의 비가 아니다.

\(\overline{\rm AC}=m\), \(\overline{\rm CB}=n\),

\(d=\rho\),

\(\displaystyle\overline{\rm EF}=k\rho\), \(\overline{\rm FG}=k\rho\sqrt{\frac{m+n}{m}}\)

\(\displaystyle h=k\rho\sqrt{\frac{n}{m}}\)