Proposition 77 of Book X

X 권

명제

명제 77

선분에서 어떤 선분을 뺏는데, 각각 이 두 선분들을 변으로 하는 두 정사각형의 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고, 이 두 정사각형 넓이의 합은 네제곱근 평균이고 이 두 선분을 두 변으로 하는 넓이는 유리수라 하자. 그러면 남은 선분은 그 길이가 무리수이다. 이 선분을 ‘유리수 넓이와 더해서 네제곱근 평균 넓이를 만드는 선분’이라 하자.

선분 \(\rm AB\)에서 선분 \(\rm BC\)을 빼자. \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 네제곱근 평균이고 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. 이 선분을 ‘유리수 넓이와 더해서 네제곱근 평균 넓이를 만드는 선분’이라 하자.

애플릿

증명

선분 \(\rm AB\)에서 선분 \(\rm BC\)을 빼자. \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 네제곱근 평균이고 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수임을 보이자. 이 선분을 ‘유리수 넓이와 더해서 네제곱근 평균 넓이를 만드는 선분’이라 하자.

\({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)은 네제곱근 평균이고, \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수이므로, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)은 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)과 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)은 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)과 같은 단위로 측정할 수 없다.

그런데 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)은 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2\)는 무리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. 이 선분을 ‘유리수 넓이와 더해서 네제곱근 평균 넓이를 만드는 선분’이라 하자.

Q.E.D.

부연설명

이 명제는 [X권 명제 83]에서 사용을 시작으로 [X권] 이후 명제에서 가끔씩 사용된다.

이 명제를 대수적으로 나타내면 \(\overline{\rm AB}=\frac{\rho}{\sqrt{2\left(1+k^2\right)}}\sqrt{\sqrt{1+k^2}+k}\), \(\overline{\rm BC}=\frac{\rho}{\sqrt{2\left(1+k^2\right)}}\sqrt{\sqrt{1+k^2}-k}\)이다.