X 권
명제
길이가 유리수인 선분과 세 번째 이항 선분을 두 변으로 하는 직사각형을 작도하자. 이 직사각형의 넓이와 같은 정사각형이 한 변의 길이는 무리수이면 두 번째 네제곱근 평균 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)이 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 세 번째 이항 선분 \(\rm AD\)이 두 변인 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이와 같은 정사각형의 한 변은 두 번째 네제곱근 평균이다.
\(\overline{\rm AB}\)이 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 세 번째 이항 선분 \(\rm AD\)이 두 변인 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 선분 \(\rm AD\)에서 \(\overline{\rm AE}>\overline{\rm ED}\)가 점 \(\rm E\)를 잡자. 그러면 (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)와 같은 정사각형의 한 변의 길이가 무리수이며, 이 길이가 두 번째 네제곱근 선분임을 보이자.
앞의 [명제 55]에서와 같이 작도하자. \(\overline{\rm AD}\)가 세 번째 이항 선분이므로 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm ED}\)는 유리수이며, 단, \({\overline{\rm AE}}^2\), \({\overline{\rm ED}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그리고 \({\overline{\rm AE}}^2\)는 \({\overline{\rm ED}}^2\)와 \(\overline{\rm AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 길이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같고, \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm ED}\)는 모두 \(\overline{\rm AB}\)와 길이를 같은 단위로 측정 할 수 없다. [X권 정의 II 1]
앞의 명제와 같이, 선분 \(\rm MO\)는 \({\overline{\rm MO}}^2\)\(=\overline{\rm AB}\times\overline{\rm AD}=\)(직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)이며, \(\overline{\rm MN}\)과 \(\overline{\rm NO}\)는 모두 제곱근 평균이며, 단, \({\overline{\rm MN}}^2\)과 \({\overline{\rm NO}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm MO}\)는 네제곱근 평균이다.
이제 \(\overline{\rm MO}\)가 두 번째 네제곱근 평균임을 보이자.
\(\overline{\rm DE}\)는 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 즉, \(\overline{\rm DE}\)는 \(\overline{\rm EK}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
그리고 \(\overline{\rm DE}\)는 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 13] 그리고 \(\overline{\rm EK}\)와 \(\overline{\rm EF}\)는 유리수이고 단, \({\overline{\rm EK}}^2\)와 \({\overline{\rm EF}}^2\) 만을 같은 단위로 측정 할 수 있다.
그러므로 (직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이) 즉, (직사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)는 네제곱근 평균이다. [X권 명제 21] 그리고 (직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)\(=\overline{\rm MN}\times\overline{\rm NO}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm MN}\times\overline{\rm NO}\)는 제곱근 평균이다. 그러므로 \(\overline{\rm MO}\)는 두 번째 네제곱근 평균이다. [X권 명제 38]
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 72]에서 사용된다.
이 명제를 대수적으로 표현하면 다음과 같다. \(k\)는 양의 정수, \(\rho\)는 유리수, \(\lambda\)는 \(0<\lambda <1\)인 유리수이다.
\(\overline{\rm AB}=\rho\),
\(\overline{\rm AD}=\rho\sqrt{k}+\rho\sqrt{k}\sqrt{1-\lambda^2}\)
\(\overline{\rm AE}=\rho\sqrt{k}\), \(\overline{\rm ED}=\rho\sqrt{k}\sqrt{1-\lambda^2}\),
\(\overline{\rm AG}=\frac12\left(\rho\sqrt{k}+\lambda\rho\sqrt{k}\right)\), \(\overline{\rm GE}=\frac12\left(\rho\sqrt{k}-\lambda\rho\sqrt{k}\right)\)