X 권
명제
명제 7
같은 단위로 측정할 수 없는 두 수의 비는 어떤 두 수의 비와 같을 수 없다.
두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 비 \(a:b\)와 같은 비를 갖는 어떤 두 수가 존재하지 않는다.
X 권
명제
같은 단위로 측정할 수 없는 두 수의 비는 어떤 두 수의 비와 같을 수 없다.
두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 비 \(a:b\)와 같은 비를 갖는 어떤 두 수가 존재하지 않는다.
두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자.
그러면 비 \(a:b\)와 같은 비를 갖는 어떤 두 수가 존재하지 않음을 보여야 한다.
두 수 \(a:b\)와 같은 비를 갖는 어떤 두 수가 존재한다고 하자. 그러면 \(a:b\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6]
그런데 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 이것은 모순이다. 그러므로 비 \(a:b\)와 같은 비를 갖는 어떤 두 수가 존재하지 않는다.
그러므로 같은 단위로 측정할 수 없는 두 수의 비는 어떤 두 수의 비와 같을 수 없다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 6]의 대우명제이다.
이 명제는 [X권 명제 11]에서 사용된다.