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증명
선분 \(\rm AB\)가 네제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이라 하고, 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BC\)를 이어 붙였다. \(\overline{\rm
AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이며 단 \({\overline{\rm AC}}^2\)과 \({\overline{\rm CB}}^2\) 만을 같은 단위로
측정할 수 있고, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 75] 그러면 선분 \(\rm
AB\)에다 이어 붙인 전체 선분 \(\rm AC\)과 붙인 선분 \(\rm CB\)은 단 \({\overline{\rm AC}}^2\)과 \({\overline{\rm CB}}^2\)
만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이 되는 것은 \(\overline{\rm
AC}\)와 \(\overline{\rm CB}\) 뿐임을 보이자.
다른 선분 \(\overline{\rm BD}\)가 위 조건을 만족한다고 하자. 그래서 \(\overline{\rm AD}\), \(\overline{\rm DB}\)는 네제곱근
평균이며 단 \({\overline{\rm AD}}^2\)과 \({\overline{\rm DB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm
AD}\cdot\overline{\rm DB}\)는 네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 75]
길이가 \(\overline{\rm EF}\)로 유리수인 선분 \(\overline{\rm EF}\)이 한 변이고 (직사각형 \(\rm EMGF\) 넓이)\(={\overline{\rm
AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)인 직사각형 \(\rm EMGF\)를 작도하자. 그러면 나머지 한 변이 \(\rm EM\)이다.
길이가 \(\overline{\rm EF}\)로 유리수인 선분 \(\overline{\rm EF}\)이 한 변이고 (직사각형 \(\rm HMGL\) 넓이)인 직사각형 \(\rm
HMGL\)을 작도하자. 그러면 나머지 한 변은 \(\rm HM\)이다.
그러면 (직사각형 \(\rm EHLF\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm EMGF\) 넓이)\(-\)(직사각형 \(\rm HMGL\) 넓이)\(={\overline{\rm
AB}}^2\)이다. [II권 명제 7] 그러므로 \(\overline{\rm AB}\)는 (직사각형 \(\rm EHLF\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한
변이다.
길이가 \(\overline{\rm EF}\)로 유리수인 선분 \(\overline{\rm EF}\)이 한 변이고 (직사각형 \(\rm ENIF\) 넓이)\(={\overline{\rm
AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)인 직사각형 \(\rm ENIF\)를 작도하자. 그러면 나머지 한 변이 \(\rm EN)이다. 그런데 (직사각형
\(\rm EHLF\) 넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2\)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm HNIL\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm
AD}\cdot\overline{\rm DB}\)이다. [II권 명제 7]
그런데 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이므로 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm
CB}}^2\)도 네제곱근 평균이다. \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)\(=\)(직사각형 \(\rm EMGF\) 넓이)이다. 그러므로
(직사각형 \(\rm EMGF\) 넓이)도 네제곱근 평균이다. [X권 명제 15, 명제 23 따름 명제] \(\overline{\rm EF}\)가 유리수이므로
\(\overline{\rm EM}\)은 유리수이며 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
그리고 \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이므로 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는
네제곱근 평균이다. [X권 명제 23 따름 명제] \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}=\)(직사각형 \(\rm HMGL\)
넓이)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm HMGL\)도 네제곱근 평균이다. \(\overline{\rm EF}\)가 유리수이므로 \(\overline{\rm HM}\)은
유리수이며 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
\(\overline{\rm AC}\)와 \(\overline{\rm CB}\)는 단 \({\overline{\rm AC}}^2\)과 \({\overline{\rm CB}}^2\) 만을 같은 단위로
측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm AC}\)와 \(\overline{\rm CB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그런데 \(\overline{\rm
AC}:\overline{\rm CB}={\overline{\rm AC}}^2:\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm
AC}}^2\)과 \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
그런데 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\)와 같은 단위로 측정할 수 없고,
\(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)와 같은 단위로 측정할 수
있으므로 [X권 명제 6] \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)와
같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그런데 (직사각형 \(\rm EMGF\) 넓이)\(={\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)이고, (직사각형 \(\rm HMGL\) 넓이)은
\(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)이므로 (직사각형 \(\rm EMGF\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm HMGL\) 넓이)은 같은
단위로 측정할 수 없다. 그런데 (직사각형 \(\rm EMGF\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm HMGL\) 넓이)\(\overline{\rm EM}:\overline{\rm
HM}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm EM}\)과 \(\overline{\rm HM}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
\(\overline{\rm EM}\)과 \(\overline{\rm HM}\)은 유리수이고 단 \({\overline{\rm EM}}^2\)과 \({\overline{\rm HM}}^2\) 만을
같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\rm EH\)는 뺀 직선이며 \(\overline{\rm HM}\)은 선분 \(\rm EH\)에 붙인 선분이다. [X권
명제 73]
같은 방법으로 \(\overline{\rm HN}\)도 선분 \(\rm EH\)에 붙인 선분임을 보일 수 있다. 그러므로 뺀 선분에다 서로 다른 두 선분을
이어 붙여서 각각 전체 선분과 그들을 변으로 하는 정사각형들의 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러나 이것은 불가능하다.
[X권 명제 79]
Q.E.D.
