애플릿
증명
두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)는 \(\overline{\rm AB}\)는 유리수이고, \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\),
\({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수
없다고 하자. 그리고 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ABCE\)를 작도하자.
그러면 (직사각형 \(\rm ABCD\)의 넓이)는 무리수이다. 또한 직사각형 \(\rm ABCD\)의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이도
무리수임을 보여야 한다.
선분 \(\rm A\)B 위에 정사각형 \(\rm ABDF\)를 그리자. 그러면 (정사각형 \(\rm ABDF\)의 넓이)도 유리수이다. [X권 정의 4]
두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있지만
\(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 즉, \(\overline{\rm AB}\)는 유리수이고
\(\overline{\rm BC}\)가 무리수인 경우이다. 그리고 \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BD}\)이다.
그러므로 \(\overline{\rm DB}\), \(\overline{\rm BC}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다.
그런데 \(\overline{\rm DB}:\overline{\rm BC}=\)(정사각형 \(\rm ABDF\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm ABCE\) 넓이)이다. [VI권 명제
1]
그러므로 (정사각형 \(\rm ABDF\) 넓이), (직사각형 \(\rm ABCE\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그런데 (정사각형 \(\rm ABDF\) 넓이)는 유리수이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm ABCE\) 넓이)는 무리수이다.
따라서 (직사각형 \(\rm ABCE\) 넓이)와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이다. [X권 정의 4]
그러므로 한 변의 길이는 유리수이지만 다른 한 변의 길이는 이들의 길이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할
수 있고, 이들 길이는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러면 이 두 길이를 두 변으로 하는 직사각형의 넓이는 무리수이다. 또한 이
직사각형 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이도 무리수이다. 이 한 변의 길이를 네제곱 평균(medial)이라 한다.
Q.E.D.
