애플릿

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증명

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선분 \(\rm AB\)가 제곱근 평균을 뺀 선분이고, \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm CD}\)가 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 선분 \(\rm CD\)도 선분 \(\rm AB\)와 같은 제곱근 평균을 뺀 선분임을 보이자.

그러면

선분 \(\rm AB\)가 제곱근 평균을 뺀 선분이니 일직선이 되도록 선분 \(\rm BE\)를 잊자. 그러면 \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm EB}\)는 제곱근 평균이며 단 \({\overline{\rm AE}}^2\)와 \({\overline{\rm EB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 74, 75]

\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm BE}:\overline{\rm DF}\)가 되도록 선분 \(\rm CD\), \(\rm DF\)를 그리자. [VI권 명제 12] 그러면 \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm CF}\)는 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm BE}\)와 \(\overline{\rm DF}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [V권 명제 12, X권 명제 11]

그런데 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\)는 제곱근 평균이며, \({\overline{\rm AE}}^2\)와 \({\overline{\rm EB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm DF}\)도 제곱근 평균이며 [X권 명제 23], 단, \({\overline{\rm CF}}^2\)와 \({\overline{\rm DF}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 13] 그러므로 선분 \(\rm CD\)는 제곱근을 뺀 선분이다. [X권 명제 74, 명제 75]

이제 \(\overline{\rm CD}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 제곱근을 뺀 선분임을 보이자.

\(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이므로 \({\overline{\rm AE}}^2:\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}={\overline{\rm CF}}^2:\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)는 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [V권 명제 16, X권 명제 11]

그러므로 \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)는 유리수이면 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)도 유리수이고 [X권 정의 I 4] \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)는 제곱근 평균이면 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)도 제곱근 평균이다. [X권 명제 23 따름 명제]

그러므로 \(\overline{\rm CD}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 제곱근을 뺀 선분이다. [X권 명제 74, 명제 75]

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이후 [원론]에서 사용되지 않는다.