X 권
명제
명제 115
제곱근 평균인 선분에서 길이가 무리수인 선분들을 수없이 많이 만들 수 있다. 그리고 이들 무리수 선분들은 모두 서로 다르다.
길이가 제곱근 평균인 \(a\)인 선분에 대하여, \(a\)에서 시작하여 길이가 무리수인 많은 선분들이 만들 수 있으며 이 무리수 선분들은 모두 다르다.
X 권
명제
제곱근 평균인 선분에서 길이가 무리수인 선분들을 수없이 많이 만들 수 있다. 그리고 이들 무리수 선분들은 모두 서로 다르다.
길이가 제곱근 평균인 \(a\)인 선분에 대하여, \(a\)에서 시작하여 길이가 무리수인 많은 선분들이 만들 수 있으며 이 무리수 선분들은 모두 다르다.
길이가 제곱근 평균인 \(a\)인 선분에 대하여, \(a\)에서 시작하여 길이가 무리수인 많은 선분들이 만들 수 있으며 이 무리수 선분들은 모두 다름을 보이자.
길이가 유리수 \(b\)인 선분에 대하여 \(ab=c^2\)이 되도록 잡자. 그러면 \(c\)는 무리수이다. [X권 명제 4] 왜냐하면 유리수와 무리수의 길이를 갖는 두 변을 갖는 직사각형 넓이는 무리수이기 때문이다. [X권 명제 20]
그리고 이것은 앞의 정사각형과 같지 않다. 왜냐 하면 이것으로 만든 정사각형의 넓이는 같은 직사각형의 한 변의 길이가 유리수이므로 나머지 변은 제곱근 평균인 선분이다. 따라서 이것으로 만든 정사각형은 앞에 나온 어떤 정사각형과 같지 않다.
이제 \(bc=d^2\)이 되로록 \(d\)를 잡자. 그러면 \(d^2\)는 무리수이다. 그러므로 \(d\)는 무리수이다. [X권 명제 4] 그리고 이것은 앞에서 나온 어떠한 것과도 같지 않다. 왜냐하면 이것으로 만든 정사각형과 넓이가 같고 한 변이 유리수인 직사각형의 나머지 한 변이 \(c\)이므로 이것으로 만든 정사각형은 앞에서 나온 정사각형과도 같지 않다.
같은 방법으로 이렇게 계속해서 만들면 제곱근 평균인 선분에서 시작해서 길이가 무리수인 선분들을 무수히 만들 수 있으면 이들은 모두 앞에서 나온 것 다르다.
Q.E.D.
이 명제는 [원론]에서 이후 명제에서 사용되지 않는다.