X 권
명제
넓이를 같은 단위로 측정할 수 없는 제곱근 평균인 두 넓이를 더한 것과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변의 길이는 나머지 두 종류의 무리수 길이를 갖는 선분이 생긴다. 즉, 두 번째 네제곱근 평균 선분 또는 제곱근 평균인 두 넓이를 더한 것의 변이다.
제곱근 평균인 넓이 \(\rm AJBC\)와 \(\rm CBDL\)은 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 (직사각형 \(\rm AJDL\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형 변의 길이는 두 번째 네제곱근 평균 선분이거나 또는 제곱근 평균인 두 넓이를 더한 변이다.
제곱근 평균인 넓이 \(\rm AJBC\)와 \(\rm CBDL\)은 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 (직사각형 \(\rm AJDL\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형 변의 길이는 두 번째 네제곱근 평균 선분이거나 또는 제곱근 평균인 두 넓이를 더한 변임을 보이자.
(직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)과 (직사각형 \(\rm DBDL\) 넓이)은 (직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)\(>\)(직사각형 \(\rm DBDL\) 넓이)또는 (직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)\(<\)(직사각형 \(\rm DBDL\) 넓이)이다.
일반성을 잃지 않고 (직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)\(>\)(직사각형 \(\rm DBDL\) 넓이)인 경우라 하자.
길이가 유리수인 \(\overline{\rm EF}\)인 선분 \(\rm EF\) 위에 (직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)가 되도록 직사각형 \(\rm EFGH\)를 작도하자. 그러면 다른 한 변이 \(\rm EH\)가 된다.
그리고 (직사각형 \(\rm HGIK\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)가 되도록 직사각형 \(\rm HGIK\)를 작도하자. 그러면 다른 한 변이 \(\rm HK\)가 된다.
(직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이) 모두 제곱근 평균이니 (직사각형 \(\rm EHGF\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm HKIG\) 넓이) 모두 제곱근 평균이다. 이들 직사각형들의 한 변의 길이가 유리수 \(\overline{\rm EF}\)이므로 각각의 다른 한 변 \(\overline{\rm EH}\), \(\overline{\rm HK}\) 모두 유리수이고, \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
(직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 없고, (직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm EHGF\) 넓이)이고 (직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm HKIG\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm EHGF\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm HKIG\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
그런데 (직사각형 \(\rm EHGF\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm HKIG\) 넓이)\(=\)\(\overline{\rm EH}:\overline{\rm HK}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm EH}\)와 \(\overline{\rm HK}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그러므로 \(\overline{\rm EH}\), \(\overline{\rm HK}\)는 유리수이며 단지 \({\overline{\rm EH}}^2\), \({\overline{\rm HK}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm EK}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 36]
\({\overline{\rm EH}}^2={\overline{\rm HK}}^2+\)(\(\overline{\rm EH}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이) 또는 \({\overline{\rm EH}}^2={\overline{\rm HK}}^2+\)(\(\overline{\rm EH}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다.
1) \({\overline{\rm EH}}^2={\overline{\rm HK}}^2+\)(\(\overline{\rm EH}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)인 경우
\(\overline{\rm EH}\)와 \(\overline{\rm HK}\) 모두 유리수 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없으므로 \(\overline{\rm EK}\)는 세 번째 이항 선분이다. [X권 명제 II 3] 그런데 \(\overline{\rm EF}\)는 유리수이다. 길이가 유리수인 변과 세 번째 이항 선분으로 만든 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 변의 길이는 두 번째 이항 선분이다. [X권 명제 56] 그러므로 (직사각형 \(\rm EKIF\) 넓이)와 같은 즉 (직사각형 \(\rm AJDL\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변의 길이는 네제곱근 평균이다.
2) \({\overline{\rm EH}}^2={\overline{\rm HK}}^2+\)(\(\overline{\rm EH}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)인 경우
\(\overline{\rm EH}\)와 \(\overline{\rm HK}\) 모두 유리수 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없으므로 \(\overline{\rm EK}\)는 여섯 번째 이항 선분이다. [X권 명제 II 6] 그런데 \(\overline{\rm EF}\)는 유리수이다. 길이가 유리수인 변과 여섯 번째 이항 선분으로 만든 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 변의 길이는 제곱근 평균인 두 넓이를 더한 것과 같은 길이를 갖는 변이다. [X권 명제 59] 그러므로 (직사각형 \(\rm EKIF\) 넓이)와 같은 즉 (직사각형 \(\rm AJDL\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변의 길이는 제곱근 평균인 두 길이를 더한 길이를 갖는 변의 길이이다.
Q.E.D.
이 명제는 이후 명제에서 사용되지 않는다.
두 서로 다른 제곱근 평균 넓이를 \(\sqrt{k}\rho^2\), \(\sqrt{\lambda}\rho^2\)라 하자. 그러면 \(\sqrt{\sqrt{k}\rho^2+\sqrt{\lambda}\rho^2}\)이 어떠한 형태의 수를 갖는지를 알아보는 명제이다.