X 권
명제
두 선분으로 만들 정사각형들의 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고 두 정사각형의 넓이의 합은 유리수이며, 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이는 네제곱근 평균이라 하자. 그러면 두 선분을 더한 선분의 길이는 무리수이다. 이것을 큰 선분이라 부르자.
두 선분의 길이 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2 + {\overline{\rm BC}}^2\)는 유리수이라 하고, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 33] 그러면 \(\overline{\rm AC}\)(\(=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\))는 무리수이다.
두 선분의 길이 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여, \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2 + {\overline{\rm BC}}^2\)는 유리수이라 하고, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 33] 그러면 \(\overline{\rm AC}\)(\(=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\))는 무리수임을 보이자.
\(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이므로 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)도 네제곱근 평균이다. [X권 명제 6, 23, 따름 정리]
그런데 \({\overline{\rm AB}}^2 + {\overline{\rm BC}}^2\)는 유리수이다. 그러므로 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)은 \({\overline{\rm AB}}^2 + {\overline{\rm BC}}^2\)과 같은 단위로 측정할 수 없다.
그러므로 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2+\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}={\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}}^2={\overline{\rm AC}}^2\)이므로 \({\overline{\rm AC}}^2\)는 \({\overline{\rm AB}}^2 + {\overline{\rm BC}}^2\)과 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 16] 그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2\)는 무리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm AC}\)도 무리수이다. [X권 정의 4]
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 57], [X권 명제 63], [X권 명제 68]에서 사용된다.