애플릿

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증명

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\({\overline{\rm AB}}^2\)이 유리수를 더해서 제곱근 평균인 선분을 \(\rm AB\)라 하고, \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\rm CD\)도 \({\overline{\rm CD}}^2\)가 유리수를 더해서 제곱근 평균인 선분임을 보이자.

선분 \(\rm AB\)에 일직선이 되도록 선분 \(\rm BE\)를 잊자. 그러면 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\)는 \({\overline{\rm AE}}^2\)와 \({\overline{\rm EB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\)는 제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)은 유리수이다. [X권 명제 77]

앞의 명제와 같이 그리자. 그러면 앞의 명제와 같은 방법으로 \(\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}=\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}\)이고 \({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\)는 \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)과 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)는 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)와 같은 단위로 측정할 수 있음을 보일 수 있다.

그러므로 \(\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm FD}\)는 \({\overline{\rm CF}}^2\)과 \({\overline{\rm FD}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)는 제곱근 평균이고 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)는 유리수이며, 선분 \(\rm CD\)는 \({\overline{\rm CD}}^2\)에 유리수를 더해서 제곱근 평균인 선분이다. [X권 명제 77]

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이후 [원론]에서 사용되지 않는다.