X 권
명제
두 개의 크기가 다른 수가 있다. 큰 수에서 자신의 절반 보다 큰 수를 빼고, 남은 수에서 다시 절반 보다 큰 수 빼기를 반복한다. 그러면 처음 주어진 작은 수 보다 더 작은 수로 만들 수 있다.
\(\overline{\rm AB}>c\)인 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(c\)가 있다. \(\frac{\overline{\rm AB}}2\) 보다 큰 수를 빼고, 남은 수에서 다시 절반보다 큰 수 빼기를 반복한다. 그러면 수 \(c\) 보다 작은 수를 만들 수 있다.
\(\overline{\rm AB}>c\)인 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(c\)가 있다. \(\frac{\overline{\rm AB}}2\) 보다 큰 수를 빼고, 남은 수에서 다시 절반보다 큰 수 빼기를 반복한다.
그러면 수 \(c\) 보다 작은 수를 만들 수 있음을 보여야 한다.
수 \(c\)에 어떤 수 \(n\)을 곱한 수 \(c\cdot n\)가 \(c\cdot n>\overline{\rm AB}\)가 되게 할 수 있다. [V권 정의 4] 수 \(\overline{\rm DE}\)를 \(\overline{\rm DE}=c\cdot n\)이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm DE}>\overline{\rm AB}\)이다. \(\overline{\rm DE}\)를 \(\overline{\rm DF}=\overline{\rm FG}=\overline{\rm GE}=c\)인 수 \(\overline{\rm DF}\), \(\overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm GE}\)로 나누자. (여기서 \(n=3\)이다.)
\(\overline{\rm BH}>\frac{\overline{\rm AB}}2\)인 수 \(\overline{\rm BH}\)를 잡고, 수 \(\overline{\rm AH}\)를 \(\overline{\rm AH}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BH}\)라 하자. 그리고 수 \(\overline{\rm HK}>\frac{\overline{\rm AH}}2\)인 수 \(\overline{\rm HK}\)를 잡고, 수 \(\overline{\rm AK}\)를 \(\overline{\rm AK}=\overline{\rm AH}-\overline{\rm HK}\)라 하자. 같은 과정으로 \(\overline{\rm AB}\)를 나눈 수가 \(\overline{\rm DE}\)를 나눈 수와 같아질 때까지 반복하여라. 그러면 \(\overline{\rm AK}\), \(\overline{\rm KH}\), \(\overline{\rm HB}\)의 개수와 \(\overline{\rm DF}\), \(\overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm GE}\)의 개수와 같다.
\(\overline{\rm DE}>\overline{\rm AB}\)이고 \(\overline{\rm EG}< \frac{\overline{\rm DE}}2\)인 수 \(\overline{\rm EG}\)에 대하여 수 \(\overline{\rm DG}\)는 \(\overline{\rm DG}=\overline{\rm DE}-\overline{\rm EG}\)이다. \(\overline{\rm BH}>\frac{\overline{\rm AB}}2\)이고 수 \(\overline{\rm HA}\)는 \(\overline{\rm HA}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BH}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm GD}>\overline{\rm HA}\)이다.
\(\overline{\rm GD}>\overline{\rm HA}\)이고 수 \(\overline{\rm GF}\)는 \(\overline{\rm GF}=\frac{\overline{\rm GD}}2\)이다. 그러므로 수 \(\overline{\rm DF}\)는 \(\overline{\rm DF}=\overline{\rm GD}-\overline{\rm GF}\)이다. 수 \(\overline{\rm HK}\)는 \(\overline{\rm HK}>\frac{\overline{\rm HA}}2\)이다. 수 \(\overline{\rm AK}\)는 \(\overline{\rm AK}=\overline{\rm HA}-\overline{\rm HK}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm DF}>\overline{\rm AK}\)이다.
그런데 \(\overline{\rm DF}=c\)이다. 그러므로 \(c>\overline{\rm AK}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AK}< c\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\)에서 빼고 남은 \(\overline{\rm AK}\)는 \(\overline{\rm AK}< c\)이다.
그러므로 두 개의 크기가 다른 수가 있다. 큰 수에서 자신의 절반 보다 큰 수를 빼고, 남은 수에서 다시 절반 보다 큰 수 빼기를 반복한다. 그러면 처음 주어진 작은 수 보다 더 작은 수로 만들 수 있다.
Q.E.D.
수의 절반을 반복해서 뺄 때에도 이 명제가 성립한다.
이 명제는 [XII권]의 소진 방법의 기초이다. 그것은 [X권]의 나머지 부분에서는 사용되지 않는다. 이 방법은 원의 넓이와 입체도형의 부피에 관한 명제에 사용된다. 이 명제는 특히 [XII권 명제 2], [XII권 명제 5], [XII권 명제 10], [XII권 명제 11], [XII권 명제 12], [XII권 명제 16]에서 사용된다.