X 권
명제
어떤 선분에 대하여 그 선분과 길이만을 같은 단위로 측정할 수 없는 선분이 존재한다. 또한 길이뿐만 아니라 그들로 만들어진 정사각형 넓이도 같은 단위로 측정할 수 없는 선분도 존재한다.
길이가 \(a\)인 선분가 있다고 하자. 길이 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 길이를 갖는 선분이 존재한다. 또한 길이뿐만 아니라 그 길이를 갖는 선분으로 만들어진 정사각형 넓이가 한 변의 길이가 \(a\)인 정사각형 넓이와 같은 단위로 측정할 수 없다.
길이가 \(a\)인 선분가 있다고 하자.
그러면 이 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 길이를 갖는 선분이 존재하고, 길이뿐만 아니라 그 길이를 갖는 선분으로 만들어진 정사각형 넓이가 한 변의 길이가 \(a\)인 정사각형 넓이와 같은 단위로 측정할 수 없음을 보여야 한다.
두 수 \(b\), \(c\)의 비 \(b:c\)가 제곱수의 비가 아니다. 즉, \(b\), \(c\) 모두 닮은 평면수가 아니다.
수 \(d\)는 \(b:c=a^2:d^2\)을 만족한다고 하자. [X권 명제 6 따름명제] 그러면 \(a^2\), \(d^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6]
그리고 비 \(b:c\)는 어떤 제곱수의 비와 같지 않으므로 \(a^2\), \(d^2\)도 제곱수의 비와 같지 않다. 그러므로 \(a\), \(d\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]
수 \(e\)를 \(a\), \(d\)의 비례 중항이라고 하자. 그러면 \(a:d=a^2:e^2\)이다. [V권 정의 9]
그런데 \(a\), \(d\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(a^2\), \(d^2\)도 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그러므로 \(a^2\), \(e^2\)도 같은 단위로 측정할 수 없다.
그러므로 두 수 \(d\), \(e\)에 대하여, \(d\)는 \(a\)와 길이만 같은 단위로 측정할 수 있으며, \(e \)는 길이뿐만 아니라 이들로 만든 정사각형 넓이도 같은 단위로 측정할 수 없다.
그러므로 어떤 선분에 대하여 그 선분과 길이만을 같은 단위로 측정할 수 없는 선분이 존재한다. 또한 길이뿐만 아니라 그들로 만들어진 정사각형 넓이도 같은 단위로 측정할 수 없는 선분도 존재한다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 정의 I 3]에서의 선분을 따른다. \(a^2:d^2\)이 제곱수의 비가 아닌 수 \(d\)를 잡자. 예를 들어 \(a\)가 정사각형의 한 변이고 \(d\)가 같은 정사각형의 대각선이라고 하자. 그러면 \(a^2:d^2=1:2\)로 제곱수의 비가 아니다. 수 \(d\)는 \(d=\sqrt{a}\)이다.
수 \(e\)가 \(a\), \(d\)의 비례 중항이라면 \(e^2=a\cdot d\)이고 \(e^2\)는 \(a^2\)과 같은 단위로 측정할 수 없다. 즉, 수 \(e\)는 \(e=\sqrt[4]{a}\)이다.
이 명제는 [X권 명제 27]과 다른 명제에서 사용된다.