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증명
두 선분의 길이 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)은 같은
단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)은 네제곱근 평균이며, \(\overline{\rm
AB}\cdot\overline{\rm, BC}\)도 네제곱근 평균이며, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)과 \(\overline{\rm
AB}\cdot\overline{\rm, BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. [X권 명제 35] 그러면 \(\overline{\rm AB}+\overline{\rm
BC}\)는 무리수임을 보이자.
길이가 유리수인 \(\overline{\rm DE}\)를 잡자. 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)인 직사각형 \(\rm
DEFG\)를 작도하자. 넓이가 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)인 직사각형 \(\rm GFHK\)를 작도하자. 그러면
(직사각형 \(\rm DEHK\) 넓이)\(={\overline{\rm AC}}^2\)이다. [II권 명제 4]
\(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm, BC}\)는 네제곱근 평균이고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2=\)(직사각형
\(\rm DEFG\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm DEFG\) 넓이)도 네제곱근 평균이다. 직사각형 \(\rm DEFG\)의 한 변인 \(\rm DE\)의 길이
\(\overline{\rm DE}\)는 유리수이므로, \(\overline{\rm DG}\)는 \({\overline{\rm DG}}^2\)와 \({\overline{\rm DE}}^2\)는 같은
단위로 잴 수 없는 유리수이다. [X권 명제 22]
\({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)과 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)은 같은 단위로 측정할 수
없으므로 (직사각형 \(\rm DEFG\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm FGHK\) 넓이)는 같은 단위로 측정 할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm
DG}\)와 \(\overline{\rm GK}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11]
그런데 이 두 선분의 길이는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm DG}\)와 \(\overline{\rm GK}\)은 유리수이며, \({\overline{\rm
DG}}^2\)와 \({\overline{\rm GK}}^2\) 만 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm DK}\)는 무리수이며,
이항선분이다. [X권 명제 36]
그런데 선분 \(\overline{\rm DE}\)는 유리수이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm DEHK\) 넓이)는 무리수이며, 이 넓이를 갖는
정사각형이 한 변의 길이는 무리수이다. [X권 정의 4] 그런데 \(\overline{\rm AC}^2=\)(직사각형 \(\rm DEHK\) 넓이)이다. 그러므로
\(\overline{\rm AC}^2\)는 무리수이다.
이것을 네제곱근 평균인 두 넓이를 더한 것의 변이라 하자.
Q.E.D.
