X 권
명제
첫 번째 두 개의 네제곱근 평균 선분은 한 점에서만 자를 수 있다.
첫 번째 두 개의 네제곱근 평균 선분 \(\rm AB\)의 한 점 \(\rm C\)에서 잘라서 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)의 길이인 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이며, \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)만 같은 단위로 측정할 수 있고 \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 유리수가 되게 하는 점 \(\rm C\)는 유일하다.
첫 번째 두 개의 네제곱근 평균 선분 \(\rm AB\)의 한 점 \(\rm C\)에서 잘라서 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)의 길이 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이며, \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)만 같은 단위로 측정할 수 있고 \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 유리수라고 하자. [X권 명제 37] 선분 \(\rm AB\)에 점 \(\rm C\)와 다른 점을 잡아서 위와 같이 자를 수 없음을 보이자.
만약 조건에 맞게 점 \(\rm C\)와 다른 점 \(\rm D\)를 잡아서 선분 \(\rm AB\)를 잘라서 만족한다고 하자. 즉, 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm DB\)의 길이 \(\overline{\rm AD}\), \(\overline{\rm DB}\)는 네제곱근 평균이며, \({\overline{\rm AD}}^2\), \({\overline{\rm DB}}^2\)만 같은 단위로 측정할 수 있고 \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)는 유리수라고 하자.
\(\left|2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}-2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\right|=\left|\left({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\right)-\left({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\right)\right|\)이다. 그런데 \(\left|2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}-2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\right|\)는 유리수이다. 왜냐하면 이 두 수 모두 유리수이기 때문이다.
그러므로 \(\left|\left({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\right)-\left({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\right)\right|\)은 유리수이다. 그런데 이 수들은 모두 네제곱근 평균이므로 가정에 모순이다. [X권 명제 26]
그러므로 첫 번째 두 개의 네제곱근 평균 선분은 다른 어떤 점에서 가정에 맞게 자를 수 없으며, 단 한 점에서만 조건에 맞게 자를 수 있다.
Q.E.D.
이 명제는 이후 더 이상 사용되지 않는다.