X 권
명제
길이가 유리수인 선분과 네 번째 이항 선분이 두 변인 직사각형을 작도하자. 이 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며 큰 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)이 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 세 번째 이항 선분 \(\rm AD\)이 두 변인 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 그러면 (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)와 같은 정사각형의 한 변의 길이가 무리수이며, 이 길이가 큰 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)이 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 세 번째 이항 선분 \(\rm AD\)이 두 변인 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 선분 \(\rm AD\)에서 \(\overline{\rm AE}>\overline{\rm ED}\)가 점 \(\rm E\)를 잡자. 그러면 (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)와 같은 정사각형의 한 변의 길이가 무리수이며, 이 길이가 두 번째 네제곱근 선분임을 보이자.
\(\overline{\rm AD}\)가 네제곱근 평균이므로, \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm ED}\)는 유리수이고, 단, \({\overline{\rm AE}}^2\), \({\overline{\rm ED}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \({\overline{\rm AE}}^2\)은 \({\overline{\rm ED}}^2\)과 \(\overline{\rm AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 길이를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같고, \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정 할 수 있다. [X권 정의 II 4]
선분 \(\rm DE\)의 중점을 \(\rm F\)라 하자. 선분 \(\rm AE\) 위에 두 변의 길이가 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GE}\)인 직사각형을 작도하고, 이 직사각형 넓이는 \({\overline{\rm EF}}^2\)가 되도록 하자. 그러면 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GE}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 18]
선분 \(\overline{\rm AB}\)에 수직인 선분 \(\rm GH\), \(\rm EK\), \(\rm FL\)을 그리자. 그리고 앞의 명제와 같이 도형들을 작도하자. 그러면 (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)\(={\overline{\rm MO}}^2\)으로 (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)와 넓이가 같은 정사각형의 한 변이 \(\rm MO\)이다.
\(\overline{\rm MO}\)는 무리수이며, 큰 선분임을 보이자.
\(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GE}\)는 같은 단위로 측정할 수 없으므로, (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm GHKE\) 넓이)는 같은 단위로 측정 할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11] 그러므로 (\직사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm NOQR\) 넓이)는 같은 단위로 측정 할 수 없다.
\(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있고, (직사각형 \(\rm ABKE\) 넓이)는 유리수이고, [X권 명제 19] (직사각형 \(\rm ABKE\) 넓이)\(=\overline{\rm MN}\times\overline{\rm NO}\)이므로 \(\overline{\rm MN}\times\overline{\rm NO}\)도 유리수이다.
\(\overline{\rm DE}\)는 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, 즉, \(\overline{\rm EK}\)와는 같은 단위로 측정 할 수 없고, \(\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm EF}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로, \(\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm EK}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그러므로 \(\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm EK}\)는 유리수이며, 단 \({\overline{\rm EF}}^2\), \({\overline{\rm EK}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 (직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이) 즉, (직사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)는 제곱근 평균이다. [X권 명제 21] (직사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)\(=\overline{\rm MN}\times\overline{\rm NO}\)이다.
그러므로 \(\overline{\rm MN}\times\overline{\rm NO}\)는 제곱근 평균이다. 그러므로 \(\overline{\rm MN}\times\overline{\rm NO}\)는 유리수이며, \({\overline{\rm MN}}^2\), \({\overline{\rm NO}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
그런데 두 선분으로 만든 정사각형들의 넓이를 같은 단위로 측정할 수 없고, 정사각형들을 더한 넓이는 유리수이며, 이들로 만든 직사각형의 넓이가 제곱근 평균이면, 이들을 더한 전체 길이는 무리수이며 이것은 큰 선분이다. [X권 명제 39]
그러므로 \(\overline{\rm MO}\)는 유리수이며, 큰 선분이며, (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)와 같은 정사각형의 한 변의 길이다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 70]에서 사용된다.
이 명제를 대수적으로 표현하면 다음과 같다. \(k\)는 양의 정수, \(\rho\)는 유리수, \(\lambda\)는 \(0<\lambda < 1\)인 유리수이다.
\(\overline{\rm AB}=\rho\), \(\displaystyle\overline{\rm AD}=k\rho+\frac{k\rho}{\sqrt{1+\lambda}}\)
\(\overline{\rm AE}=k\rho\), \(\displaystyle\overline{\rm ED}=\frac{k\rho}{\sqrt{1+\lambda}}\)
\(\displaystyle\overline{\rm AG}=\frac12 k\rho \left(1+\sqrt{\frac{\lambda}{1+\lambda}}\right)\)
\(\displaystyle\overline{\rm GE}=\frac12 k\rho \left(1-\sqrt{\frac{\lambda}{1+\lambda}}\right)\)