X 권
명제
유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이를 더한 것을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같고 한 변이 유리수인 직사각형을 만들자. 그러면 이 직사각형의 다른 한 변은 다섯 번째 이항 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)는 유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이이라 하자. 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)가 되도록 자르자. 길이가 유리수인 선분 \(\rm DE\)를 한 변으로 하고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm DEFG\)의 다른 한 변 \(\rm DG\)는 다섯 번째 이항 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)는 유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이이라 하자. 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)가 되도록 자르자. 길이가 유리수인 선분 \(\rm DE\)를 한 변으로 하고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm DEFG\)의 다른 한 변 \(\rm DG\)는 다섯 번째 이항 선분임을 보이자.
앞의 명제와 같이 도형들을 작도하자. \(\overline{\rm AB}\)는 길이가 유리수인 한 변인 정삭가형 넓이와 길이가 제곱근 평균인 한 변의 정사각형 넓이의 합이다. 그리고 점 \(\rm C\)로 잘라서 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)으로 나누었다. \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없으며, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 유리수이다. [X권 명제 40]
\({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)가 제곱근 평균이므로 (직사각형 \(\rm DELM\) 넓이)는 제곱근 평균이다. 그러므로 \(\overline{\rm DM}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.
그리고 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}=\)(직사각형 \(\rm MLFG\) 넓이)는 유리수이므로 \(\overline{\rm MG}\)는 유리수이고 \(\overline{\rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 20]
그러므로 \(\overline{\rm DM}\)과 \(\overline{\rm MG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X궈 명제 13] 그러므로 \(\overline{\rm DM}\), \(\overline{\rm MG}\)는 유리수이고 단 \({\overline{\rm DM}}^2\), \({\overline{\rm MG}}^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm DG}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 36]
이제 \(\overline{\rm DG}\)가 다섯 번째 이항 선분임을 보이자.
앞의 명제와 같이 \(\overline{\rm DK}\cdot\overline{\rm KM}={\overline{\rm MN}}^2\)임을 보일 수 있다.
그리고 \(\overline{\rm DK}\), \(\overline{\rm KM}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다.
그러므로 \({\overline{\rm DM}}^2\)은 \({\overline{\rm MG}}^2\)과 \(\overline{\rm DM}\)과 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 한 변으로한 정사각형 넓이의 합과 가다. [X권 명제 18] 그리고 \(\overline{\rm DM}\), \(\overline{\rm MG}\)는 단 \({\overline{\rm DM}}^2\), \({\overline{\rm MG}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고 짧은 선분의 길이 \(\overline{\rm MG}\)는 \(\overline{\rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm DG}\)는 다섯 번째 이항 선분이다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 72]에서 사용된다.
대수적 표현으로는 다음과 같다. \(k\)는 정수, \(\rho\)는 정수, \(\sigma\)는 유리수이다.
\(\displaystyle\overline{\rm AB}=\frac{\rho}{\sqrt{2\left(1+k^2\right)}}\sqrt{\sqrt{1+k^2}+k}+\frac{\rho}{\sqrt{2\left(1+k^2\right)}}\sqrt{\sqrt{1+k^2}-k}\)
\(\displaystyle\overline{\rm AC}=\frac{\rho}{\sqrt{2\left(1+k^2\right)}}\sqrt{\sqrt{1+k^2}+k}\), \(\displaystyle\overline{\rm CB}=\frac{\rho}{\sqrt{2\left(1+k^2\right)}}\sqrt{\sqrt{1+k^2}-k}\)
\(\displaystyle\overline{\rm DG}=\frac{\rho^2}{\sigma}\left(\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\right)+\frac{1}{1+k^2}\)
\(\displaystyle\overline{\rm DK}=\frac{\rho^2}{\sigma}\frac{\sqrt{1+k^2}+k}{2\left(1+k^2\right)}\), \(\displaystyle\overline{\rm KM}=\frac{\rho^2}{\sigma}\frac{\sqrt{1+k^2}-k}{2\left(1+k^2\right)}\), \(\displaystyle\overline{\rm MN}=\overline{\rm NG}=\frac{\rho^2}{\sigma}\frac{1}{2\left(1+k^2\right)}\)