X 권
명제
선분을 길이가 다르게 두 개로 자르자. 그러면 잘려진 두 선분으로 각각 정사각형의 넓이를 더한 것은 이 잘려진 두 선분으로 만든 직사각형 넓이의 두 배보다 크다.
선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)로 자르자. 그러면 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2 > 2 \cdot \overline{\rm AC}\cdot \overline{\rm CB}\)이다.
선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)로 자르자. 그러면 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2 > 2 \cdot \overline{\rm AC}\cdot \overline{\rm CB}\)임을 보이자.
선분 \(\rm AB\)의 중점을 \(\rm D\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AD}=\overline{\rm DB}\)이다. 또한 선분 \(\rm AB\)를 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)가 되도록 점 \(\rm C\)를 잡자.
그러므로 \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}+{\overline{\rm CD}}^2={\overline{\rm AD}}^2\)이다. [II권 명제 5] 그러므로 \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB} < {\overline{\rm AD}}^2\)이다. 또한 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB} < 2\cdot{\overline{\rm AD}}^2\)이다.
그런데 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2=2\left({\cdot\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DC}}^2\right)\) [II권 명제 9] 그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2 > 2 \cdot \overline{\rm AC}\cdot \overline{\rm CB}\)이다.
Q.E.D.