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증명

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길이가 유리수 \(a\)인 선분이 있다. \(\overline{\rm GC}\)는 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면 \(\overline{\rm GC}\)는 유리수이다.

두 수 \(\overline{\rm DF}\), \(\overline{\rm FE}\)는 이 두 수를 더한 \(\overline{\rm DE}\)와 \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm DF}\), \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm FE}\) 모두 제곱수와 제곱수의 비율이 아니라고 하자. 그리고 \(\overline{\rm FE}:\overline{\rm ED}={\overline{\rm GC}}^2:{\overline{\rm GB}}^2\)이 되도록 하자.

그러면 \({\overline{\rm GB}}^2\)도 유리수이다. [X권 명제 6] 그러므로 \(\overline{\rm GB}\)도 유리수이다.

\(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}={\overline{\rm BG}}^2:{\overline{\rm GC}}^2\)이고 \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}\)은 제곱수와 제곱수의 비율이 아니므로 \({\overline{\rm BG}}^2:{\overline{\rm GC}}^2\)도 제곱수와 제곱수의 비율이 아니다. 그러므로 \(\overline{\rm BG}\)와 \(\overline{\rm GC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]

그리고 \(\overline{\rm BG}\)와 \(\overline{\rm GC}\)는 두 수 모두 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm BG}\), \(\overline{\rm GC}\)는 유리수이며 단지 \({\overline{\rm BG}}^2\)와 \({\overline{\rm GC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm BC}\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73]

이제 \(\overline{\rm BC}\)가 다섯 번째 뺀 선분임을 보이자.

\(h\)는 \({\overline{\rm BG}}^2={\overline{\rm GC}}^2+h^2\)을 만족한다. \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}={\overline{\rm BG}}^2:{\overline{\rm GC}}^2\)이므로 전자와 뺀 것과 비례식에 의해서 \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm DF}={\overline{\rm GB}}^2:h^2\)이다.

그런데 \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm DF}\)는 제곱수와 제곱수의 비율이 아니다. 그러므로 \({\overline{\rm GB}}^2:h^2\)도 제곱수와 제곱수의 비율이 아니다. 그러므로 \(\overline{\rm GB}\)와 \(h\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]

\({\overline{\rm BG}}^2={\overline{\rm GC}}^2+h^2\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm BG}}^2={\overline{\rm GC}}^2+\)(\(\overline{\rm BG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분의 길이를 변으로 하는 정사각형 넓이)이다. 그리고 \(\overline{\rm BG}\)는 주어진 유리수 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있다.

그러므로 \(\overline{\rm BC}\)는 다섯 번째 밴 선분이다. [X권 정의 III 5]

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이후 [원론]에서 사용되지 않는다.

\(\rho\)는 유리수, 자연수 \(m\), \(n\)은 \(\left(m+n\right):m\)과 \(\left(m+n\right):n\) 모두 제곱수와 제곱수의 비율이 아니다.

\(n:\left(m^2+n^2\right)=k^2\rho^2:x^2\)을 만족하는 \(x\)를 구하자.

그러면 \(x=k\rho\sqrt{\frac{m+n}{n}}=k\rho\sqrt{1=\lambda}\) (단, \(\lambda=\frac mn\)) \(a=\rho\), \(k\)는 자연수

\(\overline{\rm CB}=ak\), \(\overline{\rm DF}=m\), \(\overline{\rm FE}=n\), \(\overline{\rm CG}=k\rho\), \(\overline{\rm GB}=x=k\rho\sqrt{1+\lambda}\)

\(\overline{\rm BC}=\overline{\rm GB}-\overline{\rm CG}=k\rho\sqrt{1+\lambda}\)이다.