X 권
명제
두 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 같도록 한 변이 유리수인 한 변인 직사각형을 작도하자. 그러면 직사각형의 나머지 한 변은 여섯 번째 이항 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)는 두 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이라 하자. 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)가 되도록 자르자. 길이가 유리수인 선분 \(\rm DE\)를 한 변으로 하고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm DEFG\)의 다른 한 변 \(\rm DG\)는 여섯 번째 이항 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)는 두 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이라 하자. 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)가 되도록 자르자. 길이가 유리수인 선분 \(\rm DE\)를 한 변으로 하고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm DEFG\)의 다른 한 변 \(\rm DG\)는 여섯 번째 이항 선분임을 보이자.
앞의 명제와 같이 도형들을 작도하자. \(\overline{\rm AB}u^2+v^2\)라 할 때, \(u^2+v^2\)은 제곱근 평균이고, 점 \(\rm C\)로 나누었다. 나누어진 두 선분은 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)은 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없으며, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)도 제곱근 평균이다.
또한 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)과 \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 41] 그러므로 앞의 명제에서 증명에 따라 (직사각형 \(\rm DELM\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm MLFG\) 넓이)는 제곱근 평균이다.
두 직사각형 \(\rm DELM\)과 \(\rm MLFG\)의 한 변의 길이가 모두 유리수 \(\overline{\rm DE}\)이므로 나머지 한 변인 \(\overline{\rm DM}\), \(\overline{\rm MG}\) 모두 유리수이며 \(\overline{\rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
\({\overline{\rm AC}}^2{\overline{\rm CB}}^2\)은 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)과 같은 단위로 측정할 수 없으므로 (직사각형 \(\rm DELM\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm MLFG\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm DM}\)과 \(\overline{\rm MG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11]
그러므로 \(\overline{\rm DM}\), \(\overline{\rm MG}\)는 유리수이며, 단 \({\overline{\rm DM}}^2\), \({\overline{\rm MG}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm DG}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 36]
이제 \(\overline{\rm DG}\)가 여섯 번째 이항 선분임을 보이자.
앞 명제와 같이 \(\overline{\rm DK}\cdot\overline{\rm KM}={\overline{\rm MN}}^2\)이다. 그리고 \(\overline{\rm DK}\)와 \(\overline{\rm KM}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. 그리고 같은 이유로 \({\overline{\rm DM}}^2\)은 \({\overline{\rm MG}}^2\)와 \(\overline{\rm DM}\)과 같은 단위로 측정할 수 없는 길이를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다. 그리고 \(\overline{\rm DM}\), \(\overline{\rm MG}\)는 모두 \(\overline{\rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm DG}\)는 여섯 번째 이항 선분이다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 72]에서 사용된다.
대수적 표현으로는 다음과 같다. \(k\)는 정수, \(\rho\)는 정수, \(\sigma\), \(\rho\)는 유리수이다.
\(\displaystyle\overline{\rm AB}=\frac{\rho\sqrt[4]{\lambda}}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\frac{k}{1+k^2}}+\frac{\rho\sqrt[4]{\lambda}}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{k}{1+k^2}}\)
\(\displaystyle\overline{\rm AC}=\frac{\rho\sqrt[4]{\lambda}}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\frac{k}{1+k^2}}\), \(\displaystyle\overline{\rm CB}=\frac{\rho\sqrt[4]{\lambda}}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{k}{1+k^2}}\)
\(\displaystyle\overline{\rm DG}=\frac{\rho^2}{\sigma}\left(\sqrt{\lambda}+\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt{1+k^2}}\right)\)
\(\displaystyle\overline{\rm DK}=\frac{\rho^2\sqrt{\lambda}}{2\sigma}\left(1+\frac{k}{1+k^2}\right)\), \(\displaystyle\overline{\rm KM}=\frac{\rho^2\sqrt{\lambda}}{2\sigma}\left(1-\frac{k}{1+k^2}\right)\), \(\displaystyle\overline{\rm MN}=\overline{\rm NG}=\frac{\rho^2\sqrt{\lambda}}{2\sigma}\cdot\frac{1}{\left(1+k^2\right)}\)