X 권
명제
명제 93
길이가 유리수인 선분과 세 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 변은 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 세 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이를 갖는 정사각형의 변은 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이다.
X 권
명제
길이가 유리수인 선분과 세 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 변은 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 세 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이를 갖는 정사각형의 변은 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 세 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 직사각형 넓이를 갖는 정사각형의 변은 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분임을 보이자.
선분 \(\rm AD\)에다 선분 \(\rm GD\)를 붙이자. 그러면 \(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm GD}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm AG}}^2\)와 \({\overline{\rm GD}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있으며, \(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm GD}\)는 모두 주어진 유리수 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없으며, \({\overline{\rm AG}}^2=\overline{{\rm GD}}^2+\)(\(\overline{\rm AG}\)와 같은 단위로 측정 할 수 이있는 선분을 변으로하는 정사각형 넓이)이다. [X권 정의 III 3]
\({\overline{\rm AG}}^2=\overline{{\rm GD}}^2+\)(\(\overline{\rm AG}\)와 같은 단위로 측정 할 수 이있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이므로 선분 \(\rm AG\)에 넓이가 \(\frac14\overline{\rm GD}\)이며 정사각형을 뺀 모양인 평행사변형을 작도하면 \(\overline{\rm AG}\)는 \(\overline{\rm AG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 두 선분으로 나누어진다. [X군 명제 17]
선분 \(\rm DG\)의 중점을 \(\rm E\)라 하자. 선분 \(\rm AG\)에 넓이가 \(\frac14\overline{\rm GD}\)이며 정사각형을 뺀 모양인 평행사변형을 붙이고 그 도형을 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FG}\)기 두 변인 직사각형이라 하자.
점 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\)에서 선분 \(\rm AC\)에 평행하도록 각각 \(\rm EH\), \(\rm FI\), \(\rm GK\)를 그리자.
\(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이), (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [VI권 명제 1, X권 명제 11] 그런데 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm AG}\)는 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 15] 그런데 \(\overline{\rm AG}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FG}\)도 유리수이며 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 13] 그러므로 두 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이), (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)는 제곱근 평균이다. [X권 명제 21]
\(\overline{\rm DE}\)와 \(\overline{\rm EG}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm DG}\)는 \(\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm EG}\)과 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 15] 그런데 \(\overline{\rm DG}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.
그러므로 \(\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm EG}\) 모두 유리수이며 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13] 그러므로 (직사각형 \(\rm DBHE\) 넓이), (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이) 모두 제곱근 평균이다. [X권 명제 21]
\(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm DG}\)가 \({\overline{\rm AG}}^2\), \({\overline{\rm DG}}^2\) 만 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm DG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그런데 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm AF}\)는 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm DG}\), \(\overline{\rm EG}\)도 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm EG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13] 그런데 \(\overline{\rm AF}:\overline{\rm EG}=\)(직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\rm ACIF\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)가 되도록 정사각형 \(\rm LRMP\)을 작도하자. 정사각형 \(\rm LRMP\)에서 (정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)인 정사각형 \(\rm NQOP\)을 빼자. 이 두 정사각형 \(\rm LRMP\), \(\rm NQOP\)는 \(\rm\angle LPM=90^\circ\)인 같은 각을 가지고 있다. 그러므로 두 정사각형 \(\rm LRMP\), \(\rm NQOP\)은 같은 대각선을 갖는다, [VI권 명제 26]
이 대각선을 \(\rm PR\)이라 하고 그림과 같이 도형을 작도하자.
\(\overline{\rm AF}\cdot\overline{\rm FG}={\overline{\rm EG}}^2\)이므로 \(\overline{\rm AF}:\overline{\rm EG}=\overline{\rm EG}:\overline{\rm FG}\)이다. [VI권 명제 17] 그런데 \(\overline{\rm AF}:\overline{\rm EG}=\)(직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)이고 \(\overline{\rm EG}:\overline{\rm FG}=\)(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(rm EHKG\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)이다. [V권 명제 11] 그러므로 (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)는 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)의 비례 중항이다.
그런데 (직사각형 \(\rm NTMP\) 넓이)는 (직사각형 \(\rm LAMP\) 넓이)와 (정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)의 비례 중항이다. 그리고 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)이고, (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm NTMP\) 넓이)이다.
그런데 (직사각형 \(\rm NTMP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm LSOP\) 넓이)이고 (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm DBHE\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm LSQTMP\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이다. 그런데 (직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm SRTQ\) 넓이)\(={\overline{\rm LN}}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm LN}\)은 넓이가 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)와 같은 정사각형의 변이다.
이제 \(\overline{\rm LN}\)이 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분임을 보이자.
그런데 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)는 제곱근 평균이며 \(\rm ACIF\) 넓이)\(={\overline{\rm LP}}^2\), (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)\(={\overline{\rm NP}}^2\)이므로 \(\overline{\rm LP}\), \(\overline{\rm NP}\) 모두 제곱근 평균이다.
그리고 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이), (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 [VI권 명제 1, X권 명제 11] \({\overline{\rm LP}}^2\), \({\overline{\rm NP}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그리고 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이), (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없음을 보였으므로 (정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이), (직사각형 \(\rm NTMP\) 넓이)도 같은 단위로 측정할 수 없다. 즉, \({\overline{\rm LP}}^2\), \(\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm LP}\), \(\overline{\rm NP}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.[VI권 명제 1, X권 명제 11] 그러므로 \(\overline{\rm LP}\), \(\overline{\rm NP}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm LP}}^2\), \({\overline{\rm NP}}^2\)만을 같은 단위로 측정할 수 있다.
\(\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)가 제곱근 평균임을 보이자.
(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)가 제곱근 평균임을 보였다. 그리고 (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)\(=\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)이므로 \(\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)도 제곱근 평균이다. 그러므로 \(\overline{\rm LP}\), \(\overline{\rm NP}\)는 제곱근 평균이며 단 \({\overline{\rm LP}}^2\), \({\overline{\rm NP}}^2\)만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)도 제곱근 평균이다.
그러므로 \(\overline{\rm LN}\)은 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이다. [X권 명제 75] 그리고 \(\overline{\rm LN}\)은 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)와 같은 정사각형의 변이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)와 같은 정사각형의 변은 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 110]에서 사용된다.