X 권
명제
두 선분은 각각 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이는 네제곱근 평균인 길이가 네제곱근 평균인 두 선분이 존재한다.
\(\frac de\)는 무리수이며, \(\frac{d^2}{e^2}\)은 유리수로 \(d^2\), \(e^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있으며, \(de\)는 네제곱근 평균이 되는 네제곱근 평균인 두 수 \(d\), \(e\)가 존재한다.
\(\frac de\)는 무리수이며, \(\frac{d^2}{e^2}\)은 유리수로 \(d^2\), \(e^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있으며, \(de\)는 네제곱근 평균이 되는 네제곱근 평균인 두 수 \(d\), \(e\)가 존재함을 보여야 한다.
세 선분 \(a\), \(b\), \(c\)는 \(\frac ba\), \(\frac ca\), \(\frac cb\) 모두 무리수이며, 단지 \(\frac{b^2}{a^2}\), \(\frac{c^2}{a^2}\), \(\frac{c^2}{b^2}\) 모두 유리수라 하자.
\(a\), \(b\) 사이의 비례 중항을 d라 하자. [VI권 명제 13] 또한 \(b\), \(c\) 사이의 비례 중항을 \(e\)라 하자. [VI권 명제 12]
\(a\), \(b\)는 \(\frac ba\)는 무리수이며 단 \(\frac{b^2}{a^2}\)만 유리수로 \(a^2\), \(b^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있으므로, \(ab\)는 \(ab=d^2\)으로 네제곱근 평균이다. [VI권 명제 17, X권 명제 21] 그러므로 \(d\)는 네제곱근 평균이다. [X권 명제 21]
\(b\), \(c\)는 \(\frac cb\)는 무리수이고, \(\frac{c^2}{b^2}\)만이 유리수로 \(b^2\), \(c^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있고, \(b:c=d:e\)이므로 \(d\), \(e\)도 \(\frac ed\)는 무리수이고, \(\frac{e^2}{d^2}\)만이 유리수로 \(d^2\), \(e^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11]
그런데 \(d\)는 네제곱근 평균이다. 그러므로 \(e\)도 네제곱근 평균이다. [X권 명제 23 따름명제] 그러므로 \(d\), \(e\)는 네제곱근 평균이며, \(\frac ed\)는 무리수이고, \(\frac{e^2}{d^2}\)만이 유리수로 \(d^2\), \(e^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있다.
직사각형 넓이 \(de\)가 네제곱근 평균임을 보이자.
\(b:c=d:e\)이므로 바꾼 비례식 \(b:d=c:e\)이다. [V권 명제 16]
그런데 \(b:d=d:a\)이다. 그러므로 \(d:a=c:e\)이다. 그러므로 \(ac=de\)이다. [VI권 명제 16]
그런데 \(ac\)는 네제곱근 평균이다. [X권 명제 21] 그러므로 \(de\)도 네제곱근 평균이다.
그러므로 두 수 \(d\), \(e\)는 모두 네제곱근 평균이고 이들이 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러므로 두 선분은 각각 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이는 네제곱근 평균인 길이가 네제곱근 평균인 두 선분이 존재한다.
Q.E.D.
이 명제의 예는 \(a=1\), \(b=\sqrt{2}\), \(c=\sqrt{3}\)이다.
\(\sqrt{b}\), \(\sqrt{c}\) 모두 무리수이며 \(b\), \(c\)는 \(\frac bc\)는 무리수라 하자. \(b\), \(c\) 중 한 수는 무리수(제곱근)이다. 그 무리수를 \(c\)라 하자. \(d=\sqrt[4]{b}\), \(e=\sqrt{c}\sqrt[4]{b}\)라 하자. 그러면 \(d\), \(e\)는 모두 네제곱근 평균이고, \(\frac ed\)는 무리수이고 \(\frac{e^2}{d^2}=c\)로 유리수이어서 \(d^2\), \(e^2\)만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그리고 \(c\)가 제곱근이므로 \(de= \sqrt{c}\sqrt{b}\)로 네제곱근 평균이다.
이 명제는 [X권 명제 75]에서 사용된다.