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증명

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길이가 네제곱근 평균인 두 선분 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$에 대하여 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2$, ${\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2$은 같은 단위로 측정할 수 있고, $\overline{AB}\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$는 유리수라고 하자. 그러면 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$($=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$)은 무리수임을 보이자.

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$는 같은 단위로 측정할 수 없으므로 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2+{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2$과 $2\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 36] 그리고 비례식의 덧셈 성질에 따라, ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2+{\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}}^2+2\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$ 즉, ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}^2$은 [II권 명제 4] $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 16]

그런데 가정에서 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$는 유리수이다. 그러므로 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}}^2$은 무리수이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$는 무리수이다. [X권 정의 4]

이것을 첫 번째 두개의 네제곱근 평균인 선분이라고 부르자.

Q.E.D.

부연설명

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이 정리는 [X권 명제 43], [X권 명제 55], [X권 명제 61], [X권 명제 67]에서 사용된다.