X 권
명제
길이가 네제곱근 평균인 두 선분은 이 들 선분을 각각 한 변으로 하는 두 정사각형 넓이는 같은 단위로 측정할 수 있고, 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이는 유리수라고 하자. 그러면 두 선분의 합은 무리수이고 이것을 첫 번째 두개의 네제곱근 평균 선분(the first bimedial straight line)이라 한다.
길이가 네제곱근 평균인 두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)(\(=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\))은 무리수이다.
길이가 네제곱근 평균인 두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 대하여 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)(\(=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\))은 무리수임을 보이자.
\(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없으므로 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)과 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 36] 그리고 비례식의 덧셈 성질에 따라, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2+2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\) 즉, \({\overline{\rm AC}}^2\)은 [II권 명제 4] \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 16]
그런데 가정에서 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2\)은 무리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. [X권 정의 4]
이것을 첫 번째 두개의 네제곱근 평균인 선분이라고 부르자.
Q.E.D.
이 정리는 [X권 명제 43], [X권 명제 55], [X권 명제 61], [X권 명제 67]에서 사용된다.