X 권
명제
유리수 넓이와 네제곱근 평균 넓이를 더한 넓이의 변은 단 한 점에서만 자를 수 있다.
선분 \(\rm AB\)가 유리수 넓이와 네제곱근 평균을 더한 것의 변이라고 하자. 점 \(\rm C\)를 잡아 잘라진 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)는 네제곱근 평균이며, \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 유리수라고 하자. [X권 명제 40] 그러면 조건을 만족하는 \(\rm AB\)는 단 점 \(\rm C\) 이외의 점을 잡아서 자를 수 없다.
선분 \(\rm AB\)가 유리수 넓이와 네제곱근 평균을 더한 것의 변이라고 하자. 점 \(\rm C\)를 잡아 잘라진 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)는 네제곱근 평균이며, \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 유리수라고 하자. [X권 명제 40] 그러면 조건을 만족하는 \(\rm AB\)는 단 점 \(\rm C\) 이외의 점을 잡아서 자를 수 없음을 보이자.
점 \(\rm C\) 이외의 점 \(\rm D\)를 잡아 잘라 조건을 만족한다고 하자. 즉, \({\overline{\rm AD}}^2\), \({\overline{\rm DB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)은 네제곱근 평균이며, \(2\cdot\overline{\rm AD}\cdot{\overline{\rm DB}}\)는 유리수이다.
\(\left|\left(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\right)-\left(2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\right)\right|=\left|\left({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\right)-\left({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\right)\right|\)이다.
그런데 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}-2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)는 유리수이다. 그러므로 \(\left({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\right)-\left({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\right)\)는 유리수이다.
그러나 이들 수(넓이)가 네제곱근 평균이니 이것은 불가능하다.
그러므로 유리수 넓이와 네제곱근 평균 넓이를 더한 것의 한 변은 다른 점에서 잘라서 조건을 만족시킬 수 없으며, 단 한 점에서만 잘라 조건을 만족시킬 수 있다.
Q.E.D.
이 명제는 이후 더 이상 사용되지 않는다.