X 권
명제
명제 12
어떤 두 수가 각각 다른 어떤 수와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 어떤 두 수도 같은 단위로 측정할 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)는 수 \(c\)와 각각 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면 \(a\), \(b\)도 같은 단위로 측정할 수 있다.
X 권
명제
어떤 두 수가 각각 다른 어떤 수와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 어떤 두 수도 같은 단위로 측정할 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)는 수 \(c\)와 각각 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면 \(a\), \(b\)도 같은 단위로 측정할 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)는 수 \(c\)와 각각 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러면 \(a\), \(b\)도 같은 단위로 측정할 수 있음을 보여야 한다.
두 수 \(a\), \(c\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 비 a:c는 어떤 두 수의 비와 같은 두 수가 존재한다. [X권 명제 5] 그 두 수를 \(d\), \(e\)라 하자. 그러면 \(a:c=d:e\)를 만족한다.
그리고 \(c\), \(b\)도 같은 단위로 측정할 수 있으므로 비 \(c:b\)는 어떤 두 수의 비와 같은 두 수가 존재한다. [X권 명제 5] 그 두 수를 \(f\), \(g\)라 하자. 그러면 \(c:b=f:g\)이다.
비 \(d:e\), 비 \(f:g\)에 대하여 \(h:k=d:e\), \(k:l=f:g\)를 만족하는 세 수 \(h\), \(k\), \(l\)가 존재한다. [VIII권 명제 4]
\(a:c=d:e\)이고 \(d:e=h:k\)이므로 \(a:c=h:k\)이다. [V권 명제 11] 그리고 \(c:b=f:g\)이고 \(f:g=k:l\)이므로 \(c:b=k:l\)이다. [V권 명제 11]
그런데 \(a:c=h:k\)이고 \(c:b=k:l\)이므로 같은 위치에 있는 비가 같으므로 \(a:b=h:l\)이다. [V권 명제 22]
그러므로 비 \(a:b\)는 어떤 두 수의 비와 같다. 그러므로 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러므로 어떤 두 수가 각각 다른 어떤 수와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 어떤 두 수도 같은 단위로 측정할 수 있다.
Q.E.D.
이 명제는 [VIII권 명제 4]의 응용이다.
이 명제는 다음 명제를 시작으로 [X권]에서 반복적으로 사용된다. 또한 [XIII권 명제 11]에서 사용된다.