애플릿

---

---

증명

---

앞의 명제와 같이 작도하자. 넓이가 제곱근 평균인 직사각형 \(\rm BACI\)에서 (직사각형 \(\rm BACI\) 넓이)와 같은 단위로 측정할 수 없는 넓이가 제곱근 평균인 직사각형 \(\rm BADE\)를 빼자. 그러면 남은 것 직사각형 \(\rm EDCI\) 넓이와 같은 정사각형 변의 길이는 두 종류의 무리수, 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이거나 또는 넓이가 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균이 되는 정사각형의 변임을 보이자.

(직사각형 \(\rm BACE\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm BADE\) 넓이) 모두 넓이가 제곱근 평균이고, (직사각형 \(\rm BACE\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm BADE\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없으므로 \(\overline{\rm FH}\)와 \(\overline{\rm FK}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]

(직사각형 \(\rm BACI\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm BADE\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없으므로 즉, (직사각형 \(\rm FGJH\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm FGLK\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없으므로, \(\overline{\rm FH}\)와 \(\overline{\rm FK}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11]

그러므로 \(\overline{\rm FH}\), \(\overline{\rm FK}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm FH}}^2\), \({\overline{\rm FK}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm KH}\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73]

만약 \({\overline{\rm FH}}^2={\overline{\rm FH}}^2+\)(\(\overline{\rm FH}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 변으로하는 정사각형 넓이)이면 \(\overline{\rm FH}\), \(\overline{\rm FK}\) 모두 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없으므로 \(\overline{\rm KH}\)는 세 번째 뺀 선분이다. [X권 정의 III 3]

그런데 \(\overline{\rm KL}\)은 유리수이다. 길이가 유리수인 변과 세 번째 뺀 선분을 두 변으로하는 직사각형 넓이는 무리수이며, 이 넓이와 같은 정사각형의 변의 길이는 무리수이며, 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이다. [X권 명제 93] 그러므로 넓이가 (직사각형 \(\rm KLJH\) 넓이)인 정사각형의 변 즉 (직사각형 \(\rm EDCI\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형 변은 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분이다.

만약 \({\overline{\rm FH}}^2={\overline{\rm FH}}^2+\)(\(\overline{\rm FH}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 변으로하는 정사각형 넓이)이면 \(\overline{\rm FH}\)와 \(\overline{\rm FK}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없으므로 \(\overline{\rm KH}\)는 여섯 번째 뺀 선분이다. [X권 정의 III 6]

그런데 길이가 유리수인 변과 여섯 번째 뺀 선분이 두 변인 직사각형 넓이와 같은 정사각형 변은 넓이가 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균인 변이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm KLJH\) 넓이)와 같은 넓이가 같은 정사각형의 변 즉, (직사각형 \(\rm EDCI\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변은 넓이가 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균을 만드는 선분이다.

Q.E.D.

부연설명

---

이 명제는 [원론]에서 이후 명제에서 사용되지 않는다.