X 권
보조명제 1
보명제 1
두 제곱수의 합이 제곱수인 두 제곱수가 존재한다.
X 권
보조명제 1
두 제곱수의 합이 제곱수인 두 제곱수가 존재한다.
\(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)가 모두 짝수이거나 또는 모두 홀수라고 하자. 짝수 빼기 짝수, 홀수 빼기 홀수 모두 짝수이므로 [IX권 명제 24, 26], \(\overline{\rm AC}\)는 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BC}\)이므로 짝수이다.
\(\overline{\rm AC}\)의 중점을 \(\rm D\)라 하자. 그리고 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 닮음 평면수이거나 제곱수라고 하자. 제곱수들은 닮음 평면수이다.
\(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CD}}^2={\overline{\rm BD}}^2\)이다. [II권 명제 6] 그런데 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}\)는 제곱수이다. 왜냐하면 평면수의 제곱은 제곱수이기 때문이다. [IX권 명제 1]
그러므로 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}\), \({\overline{\rm CD}}^2\)은 제곱수이며 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+ {\overline{\rm CD}}^2={\overline{\rm BD}}^2\)이다.
그리고 두 제곱수로 \({\overline{\rm BD}}^2\), \({\overline{\rm CD}}^2\)라 하면 \({\overline{\rm BD}}^2-{\overline{\rm CD}}^2=\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}\)이므로 제곱수이다.
이 경우에는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)가 닮은 평면수인 경우에 성립한다.
\(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)가 닮은 평면수가 아니면 두 제곱수가 \({\overline{\rm BD}}^2\), \({\overline{\rm CD}}^2\)인 경우 \({\overline{\rm BD}}^2-{\overline{\rm CD}}^2=\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}\)은 제곱수가 아니다.
그러므로 두 제곱수의 합이 제곱수인 두 제곱수가 존재한다.
Q.E.D.
두 제곱수의 합이 제곱수가 아닌 두 제곱수가 존재한다.
앞의 보조명제 1에서와 같이, \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}\)가 제곱수가 되록 하자. 그리고 \(\overline{\rm CA}\)는 짝수이며 \(\rm CA\)의 중점을 \(\rm D\)라 하자.
그러면 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CD}}^2={\overline{\rm BD}}^2\)이다. [보조명제 1]
단위수 \(\overline{\rm DE}\)를 빼자. 그러면 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2< {\overline{\rm BD}}^2\)인것은 자명하다.
\(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2\)이 제곱수가 아님을 보이자.
\(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2\)이 제곱수라고 가정하자.
그러면 \(\overline{\rm BE}^2\)이거나 \(\overline{\rm BE}^2\) 보다 작을 것이다. \(\overline{\rm BE}^2\) 보다 클 수는 없다. 왜냐하면 단위수를 나눌수는 없기 때문이다.
\(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2={\overline{\rm BE}}^2\)이라고 하자.
\(\overline{\rm GA}=2\cdot \overline{\rm DE}\)라 하자. \(\overline{\rm AC}=2\cdot \overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm AG}=2\cdot \overline{\rm DE}\)이므로 \(\overline{\rm GC}=\overline{\rm AC}-\overline{\rm AG}=2\cdot \overline{\rm CD}-2\cdot \overline{\rm DE}=2\cdot \overline{\rm EC}\)이다. 그러므로 점 \(\rm E\)는 \(\rm GC\)의 중점이다.
그러므로 \(\overline{\rm GB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2={\overline{\rm BE}}^2\)이다. [II권 명제 6]
그런데 가정에서 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2={\overline{\rm BE}}^2\)이다. 그러므로
\(\overline{\rm GB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2=\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+\overline{\rm CE}^2\)
\(\overline{\rm GB}\cdot \overline{\rm BC}=\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}\)
\(\overline{\rm GB}=\overline{\rm AB}\)
이다. 이것은 모순이다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2\)은 제곱수가 아니다.
다음으로 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2< {\overline{\rm BE}}^2\)일 수 없음을 보이자.
만약 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2= {\overline{\rm BE}}^2\)이라고 가정하자.
선분 \(\overline{\rm HA}\)는 \(\overline{\rm HA}=2\cdot \overline{\rm DF}\)이라 하자.
그러면 \(\overline{\rm HC}=2\cdot \overline{\rm CF}\)이어서 점 \(\rm F\)는 선분 \(\rm CH\)의 중점이다. 따라서 \(\overline{\rm HB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm FC}}^2={\overline{\rm BF}}^2\)이다. [II권 명제 6]
그런데 가정에서 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2={\overline{\rm BF}}^2\)이라 하였다.
그러므로 \(\overline{\rm HB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm FC}}^2={\overline{\rm AB}}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2\)이다. 이것은 모순이다.
그러므로 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2< {\overline{\rm BE}}^2\)일 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2\ne {\overline{\rm BE}}^2\)임을 보였다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\cdot \overline{\rm BC}+{\overline{\rm CE}}^2\)는 제곱수가 아니다.
그러므로 두 제곱수의 합이 제곱수가 아닌 두 제곱수가 존재한다.
Q.E.D.
두 선분의 길이는 같은 단위로 측정할 수 없고 이 길이를 한 변인 정사각형 넓이만이 같은 단위로 측정할 수 있으며, 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이는 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분 길이와 같은 단위로 측정할 수 있는 길이가 한 변인 정사각형 넓이의 합인 두 선분이 존재한다.
\(\overline{\rm AB}\)는 유리수이고 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AF}}^2\), \({\overline{\rm AB}}^2\)만이 같은 단위로 측정할 수 있으며, \({\overline{\rm AB}}^2={\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm BF}}^2\)이며 \(\overline{\rm BF}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AF}\)가 존재한다.
\(\overline{\rm AB}\)는 유리수이고 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AF}}^2\), \({\overline{\rm AB}}^2\)만이 같은 단위로 측정할 수 있으며, \({\overline{\rm AB}}^2={\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm BF}}^2\)이며 \(\overline{\rm BF}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AF}\)가 존재함을 보여야 한다.
\(\overline{\rm AB}\)가 유리수라고 하자. 두 제곱수 \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm DE}\)는 \({\overline{\rm CD}}^2-{\overline{\rm DE}}^2\ne {\overline{\rm CE}}^2\)라고 하자. [보조법칙 1]
\(\rm AB\) 위에 반원 \(\rm AFB\)를 그리자. 그리고 점 F에 의해서 \(\overline{\rm DC}:\overline{\rm CE}={\overline{\rm AB}}^2:{\overline{\rm AF}}^2\)이라 하자.[X권 명제 6 따름명제] 선분 \(\overline{\rm FB}\)를 그리자.
\({\overline{\rm AB}}^2:{\overline{\rm AF}}^2=\overline{\rm DC}:\overline{\rm CE}\)이므로 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm AF}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6]
그런데 \({\overline{\rm AB}}^2\)은 유리수이다. [X권 정의 4] 그러므로 \({\overline{\rm AF}}^2\)도 유리수이다. [X권 정의 4]
그러므로 \(\overline{\rm AF}\)도 유리수이다.
\(\overline{\rm DC}:\overline{\rm CE}\)는 제곱수의 비가 아니므로 \({\overline{\rm AB}}^2:{\overline{\rm AF}}^2\)의 비도 제곱수의 비가 아니다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AF}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]
그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AF}\)는 \(\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm AB}}\)는 유리수이지만 \({\overline{\rm AF}}^2\), \({\overline{\rm AB}}^2\)만 같은 단위로 측정할 수 있다.
\(\overline{\rm DC}:\overline{\rm CE}={\overline{\rm AB}}^2:{\overline{\rm AF}}^2\)이므로
\(\overline{\rm CD}:\left(\overline{\rm CD}-\overline{\rm CE}\right)={\overline{\rm AB}}^2:\left({\overline{\rm AB}}^2-{\overline{\rm AF}}^2\right)\)
\(\overline{\rm CD}:\overline{\rm DE}={\overline{\rm AB}}^2:{\overline{\rm BF}}^2\)
이다. [V권 명제 19 따름명제, III권 명제 31, I권 명제 47]
그런데 \(\overline{\rm CD}:\overline{\rm DE}\)는 제곱수의 비와 같다, 그러므로 \({\overline{\rm AB}}^2:{\overline{\rm BF}}^2\)의 비도 제곱수의 비이다.
그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BF}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
\({\overline{\rm AB}}^2={\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm BF}}^2\)이다. 그리고 \(\overline{\rm BF}\), \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러므로 AB는 유리수이고 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AF}}^2\), \({\overline{\rm AB}}^2\)만이 같은 단위로 측정할 수 있으며, \({\overline{\rm AB}}^2={\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm BF}}^2\)이며 \(\overline{\rm BF}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AF}\)가 존재한다.
그러므로 두 선분의 길이는 같은 단위로 측정할 수 없고 이 길이를 한 변인 정사각형 넓이만이 같은 단위로 측정할 수 있으며, 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이는 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분 길이와 같은 단위로 측정할 수 있는 길이가 한 변인 정사각형 넓이의 합인 두 선분이 존재한다.
Q.E.D.
[보조정리 1]은 피타고라스 삼조를 만드는 방법을 보여준다. \(n>m>0\), \(n^2(=\overline{\rm AB})\), \(m^2(=\overline{\rm BC})\)에 대하여, \(n^2-m^2\)은 짝수라고 하면 \(k(=\overline{\rm CD})\)는 \(\frac{n^2-m^2}2\)이다.
그러므로 \(n^2m^2+k^2=\left(m^2+k \right)^2\)
\(\left(nm\right)^2+\left(\frac{n^2-m^2}{2}\right)^2=\left(\frac{n^2+m^2}{2}\right)^2\)
즉, \(\left(nm\right)^2+\left(\frac{n^2-m^2}{2}\right)^2\)은 제곱수이다.
피타고라스 삼조는 \(n>m>0\)인 \(n\), \(m\)에 대하여 다음과 같이 무수히 많은 삼조를 구할 수 있다.
\(nm:\frac{n^2-m^2}{2}:\frac{n^2+m^2}{2}\)
이 명제는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AF}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm AF}}^2\)만 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm BF}\), \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있게 선분 \(\rm AB\) 위에 점 \(\rm F\)의 각이 직각인 삼각형 \(\rm ABF\)를 그려야 한다.
\(a=\overline{\rm BF}\), \(b=\overline{\rm AF}\), \(f=\overline{\rm AB}\)라 하면, \(f^2=a^2+b^2\)이다. (단, \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\) 모두 유리수이며, \(\frac fb\)는 무리수 \(\frac fa\)는 유리수이다.) \(a:b:f=d:\sqrt{c^2-d^2}:c\)를 만족하는 수 \(c\), \(d\)는 \(c^2-d^2\)은 제곱수가 아니다.
\(c^2=\overline{\rm CD}\), \(d^2=\overline{\rm DE}\)이다.
이 명제는 [X권 명제 31], [X권 명제 32]에서 사용되며, [보저정리 2]는 [X권 명제 30]에서 사용된다.