X 권
명제
큰 선분은 단 한 점에서만 자를 수 있다.
큰 선분 \(\rm AB\)는 한 점 \(\rm C\)에서 잘랐다고 하자. 그래서 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 유리수이며, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 39] 그러면 선분 \(\rm AB\)의 점 \(\rm C\) 이외의 점으로 잘라서 위의 조건을 만족할 수 없다.
큰 선분 \(\rm AB\)는 한 점 \(\rm C\)에서 잘랐다고 하자. 그래서 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 유리수이며, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 39] 그러면 선분 \(\rm AB\)의 점 \(\rm C\) 이외의 점으로 잘라서 위의 조건을 만족할 수 없음을 보여야 한다.
선분 \(\rm AB\)의 점 \(\rm C\)와 다른 점 \(\rm D\)에 의해서 잘라진 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm DB\)는 \({\overline{\rm AD}}^2\), \({\overline{\rm DB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)은 유리수이며, \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)는 네제곱근 평균이라고 하자.
\(\left|\left({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\right)-\left({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\right)\right|=\left|2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}-2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\right|\)이다.
그런데, \(\left|\left({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\right)-\left({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\right)\right|\)은 유리수이다. 두 수(넓이) 모두 유리수이기 때문이다. 따라서 \(\left|2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}-2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\right|\)도 유리수이다.
그런데 두 수 모두 네제곱근 평균이니 이것은 불가능하다. [X권 명제 26] 그러므로 큰 선분은 점 \(\rm C\) 이 외의 점에서 잘라서 조건을 만족할 수 없으며, 단 점 \(\rm C\)에서만 잘라서 조건을 만족한다.
Q.E.D.
이 명제는 이후 더 이상 사용되지 않는다.