Proposition 2 of Book X

X 권

명제

명제 2

크기가 다른 두 수에 대하여, 큰 수에서 작은 수를 빼고 남은 수를 만들고, 이전 작은 수는 큰 수이고 남은 수는 작은 수인데 큰 수에서 작은 수를 빼는 과정을 반복하자. 최종적으로 남은 수가 이전 수를 같은 단위로 측정하지 못한다고 하자. 그러면 처음 두 수는 같은 단위로 측정하지 못한다.

\(\overline{\rm AB}< \overline{\rm CD}\)인 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)에 대하여, 큰 수 \(\overline{\rm CD}\)에서 작은 수 \(\overline{\rm AB}\)를 빼고 남은 수를 만들고, 이전 작은 수는 큰 수이고 남은 수는 작은 수인데 큰 수에서 작은 수를 빼는 과정을 반복하자. 최종적으로 남은 수가 이전 수를 같은 단위로 측정하지 못한다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.

애플릿

증명

그러면 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 같은 단위로 측정할 수 없음을 보여야 한다.

결론을 부정하여 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)가 같은 단위로 측정할 수 있다고 가정하자.

그러면 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)를 동시에 나누는 공약수가 존재하고 이 수를 \(e\)라고 하자. 수 \(\overline{\rm FD}\)는 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm FD}=n\cdot \overline{\rm AB}\)라 하고, 수 \(\overline{\rm CF}\)는 \(\overline{\rm CF}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm FD}\)이며 \(\overline{\rm CF}< \overline{\rm AB}\)이라고 하자. 또 수 \(\overline{\rm BG}\)는 어떤 수 \(m\)에 대하여 \(\overline{\rm BF}=m\cdot \overline{\rm CF}\)라 하고, 수 \(\overline{\rm AG}\)는 \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm BG}\)이고 \(\overline{\rm AB}< \overline{\rm CF}\)라 하자.

이러한 과정을 반복하여 최종적으로 \(\overline{\rm AG}< e\)라고 하자.

그러면 \(e\)는 \(\overline{\rm AB}\)를 나누고, \(\overline{\rm AB}\)는 \(\overline{\rm DF}\)를 나누므로, \(e\)는 \(\overline{\rm FD}\)를 나눈다. 그런데 \(e\)는 \(\overline{\rm CD}\)를 나눈다. 그러므로 \(\overline{\rm CF}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm DF}\)이므로 \(e\)는 \(\overline{\rm CF}\)도 나눈다.

그런데 \(\overline{\rm CF}\)는 \(\overline{\rm BG}\)를 나눈다. 그러므로 \(e\)는 \(\overline{\rm BG}\)를 나눈다. 그런데 \(e\)는 \(\overline{\rm AB}\)를 나눈다. 그러므로 \(\overline{\rm AG}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm GB}\)이므로 \(e\)는 \(\overline{\rm AG}\)도 나눈다.

그런데 \(e>\overline{\rm AG}\)이므로 큰 수 \(e\)가 작은 수 \(\overline{\rm AG}\)를 나누므로 모순이다.

그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)의 공약수인 \(e\)는 존재하지 않는다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 정의 1]

그러므로 크기가 다른 두 수에 대하여, 큰 수에서 작은 수를 빼고 남은 수를 만들고, 그 남은 수와 이전 작은 수에서 큰 수에서 작은 수를 빼는 과정을 반복하자. 남은 수가 이전 수를 같은 단위로 측정하지 못하면, 처음 두 수는 같은 단위로 측정하지 못한다.

Q.E.D.

부연설명

유클리드 호제법은 [VII권 명제 1]에서 처음 사용되었고, 이 명제에서 다시 사용된다. [VII권 명제 1]은 소수에 관련된 것이다. 그러나 이 명제의 결론은 무리수에 관련된 것이다.

[IV권 명제 10]에서 사용된 세 내각이 \(36^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\)인 이등변삼각형에 대하여 생각하여 보자. 이 삼각형은 [IV권 명제 11]을 사용하여 정오각형을 작도하는데 사용된다. 삼각형 \(\rm ABC\)에서 \(\overline{\rm CD}=\overline{\rm AC}-\overline{\rm BC}\)인 변 \(\rm CD\)는 삼각형 \(\rm BCD\)의 밑변이고, \(\overline{\rm DE}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm BD}\)인 변 \(\rm DE\)는 삼각형 \(\rm CDE\)의 밑변이 된다. 이렇게 계속해서 반복적으로 작도를 할 수 있다.

그러면 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)에 유클리드 호제법을 적용하여 보자. \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm EF}\), \(\cdots\)은 무한히 많은 수를 얻을 수 있고 아래의 연속적인 비가 성립한다.

\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm DE}=\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}=\cdots\)

그런데 이 명제에 의하여 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.

[VI권 정의 3]에 의해서 \(\overline{\rm AC}=c\)인 선분 \(\rm AC\)에서 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}\)가 황금비가 되도록 점 \(\rm B\)가 선분 \(\overline{\rm AC}\)를 자를 수 있다.

이 명제는 다음 명제에서 사용된다.