애플릿

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증명

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$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}<\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$인 두 수 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$에 대하여, 큰 수 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$에서 작은 수 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$를 빼고 남은 수를 만들고, 이전 작은 수는 큰 수이고 남은 수는 작은 수인데 큰 수에서 작은 수를 빼는 과정을 반복하자. 최종적으로 남은 수가 이전 수를 같은 단위로 측정하지 못한다고 하자.

그러면 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$는 같은 단위로 측정할 수 없음을 보여야 한다.

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결론을 부정하여 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$가 같은 단위로 측정할 수 있다고 가정하자.

그러면 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$를 동시에 나누는 공약수가 존재하고 이 수를 $e$라고 하자. 수 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$는 어떤 수 $n$에 대하여 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}=n\cdot \overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$라 하고, 수 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$는 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}-\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$이며 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}<\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$이라고 하자. 또 수 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}$는 어떤 수 $m$에 대하여 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{F}}=m\cdot \overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$라 하고, 수 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}$는 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}-\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}$이고 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}<\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$라 하자.

이러한 과정을 반복하여 최종적으로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}<e$라고 하자.

그러면 $e$는 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$를 나누고, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$는 $\overline{\mathrm{D}\mathrm{F}}$를 나누므로, $e$는 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$를 나눈다. 그런데 $e$는 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$를 나눈다. 그러므로 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}-\overline{\mathrm{D}\mathrm{F}}$이므로 $e$는 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$도 나눈다.

그런데 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$는 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}$를 나눈다. 그러므로 $e$는 $\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}$를 나눈다. 그런데 $e$는 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$를 나눈다. 그러므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}-\overline{\mathrm{G}\mathrm{B}}$이므로 $e$는 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}$도 나눈다.

그런데 $e>\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}$이므로 큰 수 $e$가 작은 수 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{G}}$를 나누므로 모순이다.

그러므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$의 공약수인 $e$는 존재하지 않는다. 그러므로 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 정의 1]

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그러므로 크기가 다른 두 수에 대하여, 큰 수에서 작은 수를 빼고 남은 수를 만들고, 그 남은 수와 이전 작은 수에서 큰 수에서 작은 수를 빼는 과정을 반복하자. 남은 수가 이전 수를 같은 단위로 측정하지 못하면, 처음 두 수는 같은 단위로 측정하지 못한다.

Q.E.D.

부연설명

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유클리드 호제법은 [VII권 명제 1]에서 처음 사용되었고, 이 명제에서 다시 사용된다. [VII권 명제 1]은 소수에 관련된 것이다. 그러나 이 명제의 결론은 무리수에 관련된 것이다.

[IV권 명제 10]에서 사용된 세 내각이 ${36}^{\circ }$, ${72}^{\circ }$, ${72}^{\circ }$인 이등변삼각형에 대하여 생각하여 보자. 이 삼각형은 [IV권 명제 11]을 사용하여 정오각형을 작도하는데 사용된다. 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$에서 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}-\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$인 변 $\mathrm{C}\mathrm{D}$는 삼각형 $\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$의 밑변이고, $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}-\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}$인 변 $\mathrm{D}\mathrm{E}$는 삼각형 $\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{E}$의 밑변이 된다. 이렇게 계속해서 반복적으로 작도를 할 수 있다.

그러면 두 수 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$에 유클리드 호제법을 적용하여 보자. $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$, $\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}$, $\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}$, $\cdots$은 무한히 많은 수를 얻을 수 있고 아래의 연속적인 비가 성립한다.

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}:\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}:\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}=\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}:\overline{\mathrm{E}\mathrm{F}}=\cdots$

그런데 이 명제에 의하여 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$, $\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$는 같은 단위로 측정할 수 없다.

[VI권 정의 3]에 의해서 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}=c$인 선분 $\mathrm{A}\mathrm{C}$에서 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}:\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}$가 황금비가 되도록 점 $\mathrm{B}$가 선분 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$를 자를 수 있다.

이 명제는 다음 명제에서 사용된다.