X 권
명제
명제 3
같은 단위로 측정할 수 있는 두 수에 대하여, 이 두 수의 최대공약수를 구할 수 있다.
같은 단위로 측정할 수 있는 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)에 대하여, 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)의 최대공약수를 구할 수 있다.
X 권
명제
같은 단위로 측정할 수 있는 두 수에 대하여, 이 두 수의 최대공약수를 구할 수 있다.
같은 단위로 측정할 수 있는 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)에 대하여, 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)의 최대공약수를 구할 수 있다.
같은 단위로 측정할 수 있는 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)가 있다.
그러면 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)의 최대공약수를 구할 수 있음을 보여야 한다.
수 \(\overline{\rm AB}\)는 \(\overline{\rm CD}\)를 나누거나 나누지 못한다.
1) \(\overline{\rm AB}\)가 \(\overline{\rm CD}\)를 나눈다고 하자.
\(\overline{\rm AB}\)는 \(\overline{\rm CD}\)를 나눈다. \(\overline{\rm AB}\)는 자신을 \(\overline{\rm AB}\) 나눈다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)를 모두 나눈다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)의 공약수이다. 그리고 \(\overline{\rm AB}\)는 공약수 중 가장 크다는 것은 자명하다. 왜냐하면 \(\overline{\rm AB}\) 보다 큰 수로 \(\overline{\rm AB}\)를 나눌 수 없기 때문이다.
2) \(\overline{\rm AB}\)가 \(\overline{\rm CD}\)를 나누지 못한다고 하자.
큰 수에서 작은 수를 빼는 것을 반복하면 마지막에 남은 수는 그 이전의 수를 나눈다. 왜냐하면 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)를 같은 단위로 측정할 수 있기 때문이다. [X권 명제 2]
수 \(\overline{\rm ED}\)는 어떤 수 \(n\)에 대하여 \(\overline{\rm ED}=n\cdot \overline{\rm AB}\)이며 수 \(\overline{\rm CE}\)는 \(\overline{\rm CE}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm ED}\)이고 \(\overline{\rm CE}< \overline{\rm AB}\)이라 하자. 수 \(\overline{\rm FB}\)는 어떤 수 \(m\)에 대하여 \(\overline{\rm FB}=m\cdot \overline{\rm CE}\)이며, 수 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm FB}\)이고 \(\overline{\rm AF}< \overline{\rm CE}\)이라 하자. 그러고 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm CE}\)를 나눈다고 하자.
그러면 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm CE}\)를 나누고, \(\overline{\rm CE}\)는 \(\overline{\rm FB}\)를 나누므로 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm FB}\)를 나눈다. 그런데 \(\overline{\rm AF}\)는 자기 자신 \(\overline{\rm AF}\)를 나누므로 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm AB}\)를 나눈다.
그런데 \(\overline{\rm AB}\)는 \(\overline{\rm DE}\)를 나눈다. 그러므로 \(\overline{\rm AF}\)도 \(\overline{\rm ED}\)를 나눈다. 그런데 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm CE}\)를 나눈다. 그러므로 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm CD}\)를 나눈다. 따라서 AF는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)를 모두 나누므로 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)의 공약수이다.
이제 \(\overline{\rm AF}\)가 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)의 공약수 중 가장 큰 수임을 보이자.
이를 부정하여 \(\overline{\rm AF}\)가 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)의 공약수 중 가장 큰 수가 아니라고 가정하자. 그러면 \(\overline{\rm AF}\) 보다 큰 수가 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)를 나누는 수가 존재하고 이 수를 \(g\)라 하자.
\(g\)가 \(\overline{\rm AB}\)를 나누고, \(\overline{\rm AB}\)는 \(\overline{\rm ED}\)를 나누므로 \(g\)도 \(\overline{\rm ED}\)를 나눈다. 그런데 \(g\)는 CD를 나눈다. 그러므로 \(\overline{\rm CE}=\overline{\rm CD}-\overline{\rm ED}\)이므로 \(g\)는 \(\overline{\rm CE}\)도 나눈다.
그런데 \(\overline{\rm CE}\)는 \(\overline{\rm FB}\)를 나눈다. 그러므로 \(g\)도 \(\overline{\rm FB}\)를 나눈다. 그런데 \(g\)는 \(\overline{\rm AB}\)를 나눈다. 그러므로 \(\overline{\rm AF}=\overline{\rm AF}-\overline{\rm FB}\)이므로 \(g\)는 \(\overline{\rm AF}\)를 나눈다. \(g>\overline{\rm AF}\)인 \(g\)가 \(\overline{\rm AF}\)를 나누므로 모순이다.
그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)를 모두 나누는 \(\overline{\rm AF}\) 보다 큰 수는 없다. 그러므로 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)의 공약수 중 가장 큰 수이다.
그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)를 같은 단위로 측정하는 가장 큰 수를 구하였다.
그러므로 같은 단위로 측정할 수 있는 두 수에 대하여, 이 두 수의 최대공약수를 구할 수 있다.
Q.E.D.
어떤 수가 두 수의 공약수이면, 이 공약수는 두 수의 최대공약수를 나눈다.
이 명제는 [VII권 명제 2]과 같다. 용어만 약간 다를 뿐 전체적으로 동일하다.
이 명제와 따름명제는 다음 명제에서 사용된다.