X 권
명제
명제 27
두 선분은 각 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이가 유리수인 길이가 네제곱근 평균인 두 선분이 존재한다.
\(\frac{c^2}{d^2}\)이 유리수이며 \(c^2\), \(d^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있고, \(cd\)도 유리수인 네제곱근 평균인 수 \(c\), \(d\)가 존재한다.
X 권
명제
두 선분은 각 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이가 유리수인 길이가 네제곱근 평균인 두 선분이 존재한다.
\(\frac{c^2}{d^2}\)이 유리수이며 \(c^2\), \(d^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있고, \(cd\)도 유리수인 네제곱근 평균인 수 \(c\), \(d\)가 존재한다.
\(\frac{c^2}{d^2}\)이 유리수이며 \(c^2\), \(d^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있고, \(cd\)도 유리수인 네제곱근 평균인 수 \(c\), \(d\)가 존재함을 보여야 한다.
두 수 \(a\), \(b\)를 \(\frac ab\)는 무리수이며, \(\frac{a^2}{b^2}\)은 유리수로 \(a^2\), \(b^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. \(a\), \(b\) 사이에 있는 비례 중항을 \(c\)라 하자. [VI권 명제 13]
\(a:b=c:d\)인 수를 \(d\)라 하자. [VI권 명제 12]
두 수 \(a\), \(b\)를 \(\frac ab\)는 무리수이며, \(\frac{a^2}{b^2}\)은 유리수로 \(a^2\), \(b^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(ab\)는 \(ab=c^2\)이고 네제곱근 평균이다. [VI권 명제 17, X권 명제 21] 그러므로 \(c\)도 네제곱근 평균이다. [X권 명제 21]
a:b=c:d이고 \(\frac ab\)는 무리수이며, \(\frac{a^2}{b^2}\)은 유리수로 \(a^2\), \(b^2\)만 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\frac cd\)는 무리수이며 \(\frac{c^2}{d^2}\)은 유리수로 \(c^2\), \(d^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11] 그런데 \(c\)는 네제곱근 평균이다. 그러므로 \(d\)도 네제곱근 평균이다. [X권 명제23, 따름명제]
그러므로 \(c\), \(d\)는 네제곱근 평균이며 \(c^2\), \(d^2\)만 같은 단위로 측정할 수 있다.
\(cd\)가 유리수임을 보이자.
\(a:b=c:d\)이므로 바꾼 비례식이 성립하여 \(a:c=b:d\)이다. [V권 명제 16]
\(a:c=c:b\)이다. 그러므로 \(c:b=b:d\)이다. 따라서 \(cd=b^2\)이다.
그런데 \(b^2\)은 유리수이다. 그러므로 \(cd\)도 유리수이다.
그러므로 네제곱근 평균인 \(c\), \(d\)는 \(\frac cd\)는 무리수이며 \(\frac{c^2}{d^2}\)은 유리수로 \(c^2\), \(d^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있고, \(cd\)는 유리수이다.
그러므로 두 선분은 각 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 두 선분이 두 변인 직사각형 넓이가 유리수인 길이가 네제곱근 평균인 두 선분이 존재한다.
Q.E.D.
\(a=1\), \(b=\sqrt{e}\) (단, \(e\)는 유리수)라 하고, \(c=\sqrt[4]{e}\), \(d=\sqrt[4]{e^3}\)라 하자. 그러면 \(c\), \(d\)는 네제곱근 평균이고, \(\frac{c^2}{d^2}=\frac{\sqrt{e}}{e\sqrt{e}}=\frac1e\)로 유리수이며, \(cd=e\)로 유리수이다.
이 명제는 이후 명제에서는 사용되지 않는다.