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증명
\(\overline{\rm AB}\)가 네제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이라 하고, 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BC\)를 이어 붙였다.
\(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이며 \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수라
하자. [X권 74] 그러면 \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm AC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm AC}}^2\)
만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm AC}\)는 유리수가되는 네제곱근 평균 선분으로 유일함을
보이자
만약 조건을 만족하는 다른 선분 \(\rm DB\)이 있다고 하자. \(\overline{\rm AD}\), \(\overline{\rm DB}\)는 네제곱근 평균이며
\({\overline{\rm AD}}^2\), \({\overline{\rm DB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm
BD}\)는 유리수라 하자. [X권 명제 74]
\({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2-2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}={\overline{\rm
AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2-2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)이다. 왜냐하면 \({\overline{\rm
AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2-2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}={\overline{\rm AB}}^2\)이고 \({\overline{\rm
AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2-2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}={\overline{\rm AB}}^2\)이기 때문이다. [II권 명제
7]/p>
그러므로 \(\left({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\right)-\left({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm
CB}}^2\right)=\left(2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\right)-\left(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm
CB}\right)\)이다.
그런데 \(\left(2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\right)-\left(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm
CB}\right)\)는 유리수이다. 왜냐하면 \(2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\), \(2\cdot\overline{\rm
AC}\cdot\overline{\rm CB}\) 둘 다 유리수이기 때문이다. 그러므로 \(\left({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm
DB}}^2\right)-\left({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\right)\)는 유리수이다.
그러나 이것은 불가능하다. 왜냐하면 \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\), \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm
CB}}^2\) 모두 네제곱근 평균이며 [X권 명제 15, 23, 따름 명제], 두 네제곱근 평균의 차이는 유리수 만틈 차이가 날 수 없다. [X권
명제 26]
Q.E.D.
