X 권
명제
명제 6
두 수의 비가 어떤 두 수의 비와 같으면 그 두 수들은 같은 단위로 측정할 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a:b=d:e\)인 수 \(d\), \(e\)가 존재한다고 하자. 그러면 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
X 권
명제
두 수의 비가 어떤 두 수의 비와 같으면 그 두 수들은 같은 단위로 측정할 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a:b=d:e\)인 수 \(d\), \(e\)가 존재한다고 하자. 그러면 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
두 수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a:b=d:e\)인 수 \(d\), \(e\)가 존재한다고 하자.
그러면 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있음을 보여야 한다.
단위수를 \(1\)이라 하자. \(d=d\cdot 1\)이다. \(\frac ad\)인 크기로 \(a\)를 나누자. 수 \(c\)를 \(\frac ad=c\)라 하자. \(e=e\cdot 1\)이다. 수 \(f\)를 \(f=e\cdot c\)라 하자.
\(\frac d1=\frac ac\)이므로 \(d\)는 단위수 \(1\)의 배수인것 처럼 \(a\)는 \(c\)의 배수이다. 그러므로 \(c:a=1:d\)이다. [VII권 정의 20] 그런데 단위수 \(1\)은 \(d\)를 측정한다. 그러므로 \(c\)도 \(a\)를 측정한다.
\(c:a=1:d\)이므로 역 비 \(a:c=d:1\)이다. [V권 명제 7 따름 명제]
그리고 \(\frac fc=\frac e1\)이므로 \(c:f=1:e\)이다. [VII권 정의 20]
그런데 \(a:c=d:1\)임을 보였다. 그러므로 같은 위치에 있는 비는 같으므로 \(a:f=d:e\)이다. [V권 명제 22]
그런데 \(d:e=a:b\)이다. 그러므로 \(a:b=a:f\)이다. [V권 명제 11]
그러므로 \(a:b=a:f\)이므로 \(b=f\)이다. [V권 명제 9]
그런데 \(c\)는 \(f\)를 나눈다. 그러므로 \(c\)는 \(b\)를 나눈다. 그리고 \(c\)는 \(a\)를 나눈다. 그러므로 \(c\)는 \(a\), \(b\)를 동시에 나눈다. 즉 \(c\)는 \(a\), \(b\)의 공약수이다.
따라서 \(c\)는 \(a\), \(b\)를 같은 단위로 측정한다.
그러므로 두 수의 비가 어떤 두 수의 비와 같으면 그 두 수들은 같은 단위로 측정할 수 있다.
Q.E.D.
이 명제를 보면, 두 수 \(d\), \(e\)가 있고 어떤 수 \(a\)에 대하여 수 \(f\)를 찾아 \(a\)에서 시작하는 연속적인 비가 \(d:e\)와 같은 수들을 찾을 수 있는 것은 자명하다.
그리고 \(a\), \(f\) 사이에 비례 중항을 \(b\)라 하면 \(a:f=a^2:b^2\)이다. 즉 첫 번째 수와 세 번째 수의 비는 첫 번째 수로 만든 도형 넓이와 두 번째 수로 만든 닮은 도형의 넓이의 비가 같다. [VI권 명제 19 따름 명제]
그런데 \(a:f=d:e\)이다. 그러므로 비 \(d:e\)은 선분 길이가 \(a\)와 \(b\)로 선분으로 만든 두 닮은 도형의 넓이 비와 같다.
이 명제를 대수적으로 나타내면 다음과 같다.
\(a:b=m:n\)이고, \(c=\frac am\)이라 하자. 그러면 \(a=mc\), \(b=nc\)이다.
모든 크기를 분할 수 있는 것은 아니다. 즉, \(60^\circ\)는 \(3\)등분 할 수 없다. 크기 분할을 쓰지 않는 대체 증명은 유클리드 호제법을 사용하여 증명할 수 있다.
이 명제는 이 명제의 역인 다음 명제를 시작으로 [X권]에서 자주 사용되며 또한 [XIII권 명제 6]에서도 사용된다. 이 명제의 따름명제는 [X권 명제 10]을 시작으로 [X권]에서 자주 사용된다.