X 권
명제
두 네제곱근 평균은 각각의 길이의 선분이 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 그 두 길이가 두 변인 직사각형 넓이도 네제곱근 평균이며, 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이는 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분 길이와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합과 같은 두 네제곱근 평균이 존재한다.
어떤 \(d>e\)인 두 네제곱근 평균 \(d\), \(e\)에 대하여, \(\frac{d^2}{e^2}\)은 유리수이고, \(\frac de\)는 무리수이며, \(de\)도 네제곱근 평균이고, \(d^2\)은 \(e^2\)과 \(d\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 길의 제곱의 합과 같다.
어떤 \(d>e\)인 두 네제곱근 평균 \(d\), \(e\)에 대하여, \(\frac{d^2}{e^2}\)은 유리수이고, \(\frac de\)는 무리수이며, \(de\)도 네제곱근 평균이고, \(d^2\)은 \(e^2\)과 \(d\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 길의 제곱의 합과 같음을 보여야 한다.
세 수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있고, \(a^2\)는 \(c^2\)과 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 같도록 잡자. [X권 명제 29]
\(d^2=ab\)인 수 \(d\)가 존재한다. 그러면 \(d^2\)는 네제곱근 평균이고, 따라서 \(d\)도 네제곱근 평균이다. [X권 명제 21]
\(de=bc\)인 수 \(e\)가 존재한다. \(ab:bc=a:c\)이고, \(d^2=ab\)이고, \(de=bc\)이므로 \(a:c=d^2:de\)이다. 그런데 \(d^2:de=d:e\)이다. 그러므로 \(a:c=d:e\)이다.
\(a\), \(c\)는 \(a^2\), \(c^2\)만 같은 단위로만 측정할 수 있다. 즉 \(\frac{a^2}{c^2}\)만 유리수이고 \(\frac ac\)는 무리수이다. 그러므로 \(d\), \(e\)도 \(d^2\), \(e^2\)만 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11]
\(d\)가 네제곱근 평균이므로 \(e\)도 네제곱근 평균이다. [X권 명제 23 따름 명제]
\(a:c=d:e\)이고 \(a^2\)은 \(c^2\)과 \(a\)와 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 길이의 제곱의 합과 같다. 그러므로 \(d^2\)도 \(e^2\)과 \(d\)와 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 길이의 제곱의 합과 같다. [X권 명제 14]
이제 \(de\)가 네제곱근 평균임을 보이자
\(bc=de\)이고 \(bc\)는 네제곱근 평균이므로 [X권 명제 21] \(de\)도 네제곱근 평균이다.
그러므로 네제곱근 평균인 \(d\), \(e\)는 \(d^2\), \(c^2\)만이 같은 단위로 측정할 수 있고, \(de\)는 네제곱근 평균이며, \(d^2\)도 \(e^2\)과 \(d\)와 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 길이의 제곱의 합과 같다.
비슷한 방법으로 \(d^2\)도 \(e^2\)과 \(d\)와 길이를 같은 단위로 측정할 수 없는 길이의 제곱의 합과 같을 수 있음을 보일 수 있다. \(a^2\)을 \(c^2\)과 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 길의 제곱과 같도록 잡으면 된다. [X권 명제 30]
그러므로 두 네제곱근 평균은 각각의 길이의 선분이 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 그 두 길이가 두 변인 직사각형 넓이도 네제곱근 평균이며, 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이는 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분 길이와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합과 같은 두 네제곱근 평균이 존재한다.
Q.E.D.
이 명제는 이후 원론에서 사용되지 않는다.