X 권
명제
제곱근 평균에서 유리수를 뺀 수와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변의 길이는 무리수이다. 이 무리수는 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이거나 유리수를 더해서 제곱근 평균인 넓이인 선분이다.
넓이가 제곱근 평균인 직사각형 \(\rm BACI\) 넓이가 유리수인 직사가형 \(\rm DADE\)를 빼자. 그러면 남은 직사각형 \(\rm EDCI\) 넓이와 같은 정사각형 변은 무리수이며, 이 무리수는 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이거나 넓이가 유리수를 더해서 제곱근 평균인 정사각형 변이다.
넓이가 제곱근 평균인 직사각형 \(\rm BACI\) 넓이가 유리수인 직사가형 \(\rm DADE\)를 빼자. 그러면 남은 직사각형 \(\rm EDCI\) 넓이와 같은 정사각형 변은 무리수이며, 이 무리수는 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이거나 넓이가 유리수를 더해서 제곱근 평균인 정사각형 변임을 보이자.
길이가 유리수 \(\overline{\rm FG}\)인 선분 \(\rm FG\)가 있다. 이 넓이들을 앞의 명제에서와 같은 방법으로 선분 \(\rm FG\)이 한 변인 직사각형을 작도하자. 그러면 \(\overline{\rm FH}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없고, \(\overline{\rm FK}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 길이를 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm FH}\), \(\overline{\rm FK}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm FH}}^2\), \({\overline{\rm FK}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 13] 그러므로 \(\rm KH\)는 뺀 선분이며 일직선이 되도록 선분 \(\rm FK\)를 이었다. [X권 명제 73]
\({\overline{\rm HF}}^2={\overline{\rm FK}}^2+\)(\(\overline{\rm HF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 길이를 변으로하는 정사각형 넓이)이거나 \({\overline{\rm HF}}^2={\overline{\rm FK}}^2+\)(\(\overline{\rm HF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 길이를 변으로하는 정사각형 넓이)이다.
\({\overline{\rm HF}}^2={\overline{\rm FK}}^2+\)(\(\overline{\rm HF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 길이를 변으로하는 정사각형 넓이)이면 이은 선분 길이 \(\overline{\rm FK}\)가 유리수 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm FH}\)는 두 번째 뺀 선분이다. [X권 정의 III 2]
그런데 \(\overline{\rm FG}\)가 유리수이므로 (직사각형 \(\rm KLJH\) 넓이)과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변 즉, (직사각형 \(\rm EDCI\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형 변은 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이다. [X권 명제 92]
\({\overline{\rm HF}}^2={\overline{\rm FK}}^2+\)(\(\overline{\rm HF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 길이를 변으로하는 정사각형 넓이)이면 이은 선분 길이 \(\overline{\rm FK}\)가 유리수 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm FH}\)는 다섯 번째 뺀 선분이다. [X권 정의 III 5]
그러므로 (직사각형 \(\rm EDCI\) 넓이)와 같은 넓이 즉, 넓이가 유리수를 더해서 제곱근 평균인 정사각형의 변은 다섯 번째 뺀 선분이다.[X권 명제 95]
Q.E.D.
이 명제는 [원론]에서 이후 명제에서 사용되지 않는다.