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증명
짧은 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BC\)를 이어 붙였다. \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 \({\overline{\rm
AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)는
유리수이며, \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 76] 그러면 짧은 선분 \(\rm
AB\)에 이어 붙여서 위 조건을 만족하는 선분은 선분 \(\rm BC\) 뿐임을 보이자.
만약 조건을 만족하고 다른 선분 \(\rm BD\)가 있다고 하자. 그래서 짧은 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BD\)를 이어 붙였다.
\(\overline{\rm AD}\), \(\overline{\rm DB}\)는 \({\overline{\rm AD}}^2\), \({\overline{\rm DB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수
없고, \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)는 유리수이며, \(2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)는
네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 76]
\(\left({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\right)-\left({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm
CB}}^2\right)=\left(2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\right)-\left(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm
CB}\right)\)이다.
그런데 \(\left({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\right)-\left({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm
CB}}^2\right)\)는 유리수이다. 왜냐하면 \(\left({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\right)\), \(\left({\overline{\rm
AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\right)\)은 유리수이기 때문이다.
그러므로 \(\left(2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\right)-\left(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm
CB}\right)\)도 유리수이다. 그러나 이것은 불가능하다. 왜냐하면 \(\left(2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm
DB}\right)\), \(\left(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\right)\) 둘 다 네제곱근 평균이기 때문이다. [X권 명제 26]
그러므로 짧은 선분에다 어떤 선분을 이어 붙여서, 붙인 선분과 전체 선분을 변으로 하는 정사각형의 넓이는 같은 단위로 측정할 수
없고, 이 두 정사각형을 더한 넓이는 유리수이며 이 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이의 두 배는 네제곱근 평균이 되는 것은
단 하나 뿐이다.
Q.E.D.
