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증명
1) 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자.
그러면 (한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이)는 어떤 두 수의 제곱비 임을 보여야 한다.
두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로, 어떤 두 수의 비와 같다. [X권 명제 5] 이 두 수를 \(c\), \(d\)라 하자.
그러면 \(a:b=c:d\)이고, (한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이) \(= a^2 : b^2\)이다. 왜냐하면
닮은꼴 도형들의 넓이의 비는 대응하는 변들의 길이의 제곱비이기 때문이다. [VI권 명제 20 따름명제]
그리고 \(c^2:d^2=c\cdot c: d \cdot d\)이다. 왜냐하면 두 제곱수 사이에는 비례 중항이 한 개가 있으면 제곱수와 제곱수의 비는
변의 비의 제곱비와 같기 때문이다. [VIII권 명제 11]
그러므로 (한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이) \(= c^2 : d^2\)이다.
2) (한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이)\(= c^2:d^2\)이라 하자.
그러면 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있음을 보여야 한다.
(한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이)\(= c^2:d^2\)이라 하자.
(한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이)\(= a^2:b^2\)이고, \(c^2:d^2=c \cdot c : d\cdot
d\)이므로 \(a:b=c:d\)이다.
그러므로 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6]
3) 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자.
그러면 (한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이)는 어떤 두 제곱수의 비와 같지 않음을 보여야
한다.
(한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이)는 어떤 두 제곱수의 비와 같다고 하자. 그러면 두 수
\(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
그런데 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하였다. 그러므로 이것은 모순이다.
따라서 (한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이)는 어떤 두 제곱수의 비와 같지 않다.
4) (한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이)는 어떤 두 제곱수의 비와 같지 않다고 하자.
그러면 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없음을 보여야 한다.
두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 (한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인
정사각형 넓이)는 어떤 두 제곱수의 비와 같다.
그런데 (한 변이 \(a\)인 정사각형 넓이) \(:\) (한 변이 \(b\)인 정사각형 넓이)는 어떤 두 제곱수의 비와 같지 않다고 하였다.
이것은 모순이다.
따라서 두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
그러므로 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 비는 선분 길이의 제곱비와 같다. 그리고 정사각형 넓이의
비가 어떤 두 제곱수의 비와 같으면 그 두 변의 길이는 같은 단위로 측정할 수 있다.
같은 단위로 측정할 수 없는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 비는 선분 길이의 제곱비와 같지 않다. 그리고 정사각형 넓이의 비가
어떤 두 제곱수의 비와 같지 않으면 그 두 변의 길이는 같은 단위로 측정할 수 없다.
Q.E.D.
