X 권
명제
명제 23
길이가 네제곱근 평균인 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분 길이는 네제곱근 평균이다.
\(a\)가 네제곱근 평균이라고 \(a\)와 \(b\)가 같은 단위로 측정을 할 수 있다고 하자. 그러면 \(b\)도 네제곱근 평균이다.
X 권
명제
길이가 네제곱근 평균인 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분 길이는 네제곱근 평균이다.
\(a\)가 네제곱근 평균이라고 \(a\)와 \(b\)가 같은 단위로 측정을 할 수 있다고 하자. 그러면 \(b\)도 네제곱근 평균이다.
\(a\)가 네제곱근 평균이라고 \(a\)와 \(b\)가 같은 단위로 측정을 할 수 있다고 하자.
그러면 그러면 \(b\)도 네제곱근 평균임을 보여야 한다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm CD\)를 그리자. 넓이가 \(a^2\)인 직사각형 \(\rm CDEG\)를 선분 \(\rm CD\) 위에 그리자. 그러면 다른 한 변이 \(\rm ED\)이다. \(\overline{\rm ED}\)는 \({\overline{\rm ED}}^2\)은 유리수이지만 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
넓이가 \(b^2\)인 정사각형 \(\rm CDFH\)를 \(\rm CD\) 위에 그려라. 그러면 다른 한 변은 \(\rm DF\)이다.
\(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(a^2\), \(b^2\)도 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러데 (직사각형 \(\rm EDCG\) 넓이)\(=a^2\)이고 (직사각형 \(\rm CDFH\) 넓이)=b^2\)이다.
그러므로 직사각형 \(\rm EDCG\) 넓이와 직사각형 \(\rm CDFH\) 넓이는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그런데 (직사각형 \(\rm EDCG\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm CDFH\) 넓이)\()=\overline{\rm ED}:\overline{\rm DF}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm ED}\), \(\overline{\rm DF}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러나 \({\overline{\rm ED}}^2\), \({\overline{\rm CD}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있지만 \(\overline{\rm ED}\)는 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \({\overline{\rm DF}}^2\), \({\overline{\rm CD}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있지만 \(\overline{\rm DF}\)는 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그러므로 \({\overline{\rm DF}}^2\), \({\overline{\rm CD}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있지만 \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm DF}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
두 길이는 같은 단위로 측정할 수 있지만 이들 길이를 갖는 변을 한 변으로 하는 정사각형 넓이는 같은 단위로 측정할 수 있다. 이 두 길이를 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 네제곱근 평균이다. [X권 명제 32]
그러므로 \(\overline{\rm CD}\cdot \overline{\rm DF}\)와 같은 정사각형 한 변의 길이는 네제곱근 평균이다. 그런데 한 변의 길이가 \(b\)인 정사각형은 \(\overline{\rm CD}\cdot \overline{\rm DF}=b^2\)이다. 그러므로 \(b\)도 네제곱근 평균이다.
그러므로 길이가 네제곱근 평균인 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분 길이는 네제곱근 평균이다.
Q.E.D.
네제곱근 평균이 넓이와 같은 단위로 측정할 수 있는 넓이는 네제곱근 평균이다.
[X권 명제 19 보조명제]에서 길이가 유리수(무리수)인 경우에 대하여 논의한 것처럼, 길이가 네제곱근 평균이면 이와 같은 단위로 측정할 수 있는 길이는 네제곱근 평균이며, 이러한 경우에 길이뿐만 아니라 정사각형 넓이들도 같은 단위로 측정할 수 있다. 일반적으로 길이를 같은 단위로 측정할 수 있으면 그 길이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이들도 같은 단위로 측정할 수 있다.
어떤 선분으로 만든 정사각형 넓이가 길이가 네제곱근 평균인 한 변으로 만든 정사각형 넓이와 같은 단위로 측정할 수 있고 길이도 같은 단위로 측정할 수 있다면 그 직선은 네제곱근 평균이라 하고, 길이를 같은 단위로 측정할 수 없으면 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있는 네제곱근 평균이라 한다.
\(a\)가 네제곱근 평균이라고 하자. 그러면 a^2은 무리수이다. 네제곱근 평균과 유리수의 나눗셈은 네제곱근 평균이고, 네제곱근 평균과 유리수의 곱도 네제곱근 평균이다.
이 명제는 [X권 명제 67], [X권 명제 104], [X권 명제 33 따름명제]와 다른 많은 명제에서 사용되며, [X권 명제 27 주의]에서 사용된다.