X 권
명제
길이가 유리수인 선분과 두 번째 이항 선분이 두 변인 직사각형을 작도하자. 이 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며 첫 번째 네제곱근 평균이 된다.
\(\overline{\rm AB}\)이 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 두 번째 이항 선분 \(\rm AD\)이 두 변인 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이와 같은 정사각형의 한 변은 첫 번째 네제곱근 평균이다.
\(\overline{\rm AB}\)이 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 두 번째 이항 선분 \(\rm AD\)이 두 변인 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이와 같은 정사각형의 한 변은 첫 번째 네제곱근 평균임을 보이자.
\(\rm AD\)는 두 번째 이항 선분을 점 \(\rm E\)가 자른다고 하자. 선분 \(\rm AE\)가 \(\overline{\rm AE}>\overline{\rm ED}\)라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm ED}\)는 유리수이며, 단 \({\overline{\rm AE}}^2\), \({\overline{\rm ED}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그리고 \({\overline{\rm AE}}^2\)은 \({\overline{\rm ED}}^2\)와 \(\overline{\rm AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분의 길이를 한 변으로 한 정사각형 넓이와 합과 같으며, 짧은 선분 길이 \(\overline{\rm ED}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 정의 II 2]
선분 \(\rm ED\)의 중점을 \(\rm F\)라 하자. 선분 \(\rm AE\) 위에 두 선분 \(\rm AG\), \(\rm GE\)를 두 변으로 하는 직사각형을 놓으면, \(\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GE}={\overline{\rm EF}}^2\)이고, 이 직사각형은 정사각형을 뺀 모양이 되도록 작도하자. 그러면 \(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm GE}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 17]
세 점 \(\rm G\), \(\rm E\), \(\rm F\)에서 선분 \(\rm AB\) 또는 선분 \(\rm CD\)에 평행한 선분 \(\rm GH\), \(\rm EK\), \(\rm FL\)을 그리자. (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)인 정사각형 \(\rm SPNM\)을 작도하자. 또한 (직사각형 \(\rm GHKE\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm NOQR\) 넓이)인 정사각형 \(\rm NOQR\)을 작도하자. 그리고 두 선분 \(\rm MN\)과 \(\rm NO\)가 한 선분이 되도록 하자. 정사각형 \(\rm SJQI\)를 작도하자.
그러면 앞에서 증명한 것에 의해서 (직사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)\(^2=\)(정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)\(\cdot\)(정사각형 \(\rm NOQR\) 넓이)이어서 (직사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)이 (정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)과 (정사각형 \(\rm NOQR\) 넓이)의 비례 중항이며, (직사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이)이고 선분 \(\rm MO\)는 \({\overline{\rm MO}}^2=\)(직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)이다.
다음으로 \(\overline{\rm MO}\)가 첫 번째 네제곱근 평균임을 보이자.
\(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm ED}\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \(\overline{\rm ED}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정 할 수 있으므로, \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정 할 수 없다. [X권 명제 13] 그리고 \(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm EG}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로, \(\overline{\rm AE}\)도 \(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm GE}\) 각각 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 15] 그런데 \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm GE}\)도 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm GE}\)는 유리수이며, 단 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm AG}}^2\)와 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm GE}}^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm GHKE\) 넓이)는 모두 네제곱근이다. [X권 명제 21] 그러므로 (정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)와 (정사각형 \(\rm NOQR\) 넓이) 모두 네제곱근이다. 그러므로 \(\overline{\rm MN}\)과 \(\overline{\rm NO}\) 모두 네제곱근이다.
\(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm GE}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이), (직사각형 \(\overline{\rm GHKE}\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [VI권 명제 1, X권 명제 11] 그러므로 (정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)와 (정사각형 \(\rm NOQR\) 넓이)은 같은 단위로 측정 할 수 있다. 그러므로 \({\overline{\rm MN}}^2\), \({\overline{\rm NO}}^2\)는 같은 단위로 측정 할 수 있다. \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm ED}\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm AG}\)는 같은 단위로 측정 할 수 있으며, \(\overline{\rm ED}\), \(\overline{\rm EF}\)는 같은 단위로 측정할 수 없으므로, \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm EF}\)는 같은 단위로 착정할 수 없다. [X권 명제 13] 따라서 (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이)도 같은 단위로 측정할 수 없다. 즉, (정사각형 \(\rm SPNM\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11] 그러므로 \(\overline{\rm PN}\), \(\overline{\rm NR}\)은 같은 단위로 측정할 수 없어서 \(\overline{\rm MN}\), \(\overline{\rm NO}\)는 같은 단위로 측정 할 수 없다. 그런데 \(\overline{\rm MN}\), \(\overline{\rm NO}\) 모두 네제곱근 평균이며, 단, \({\overline{\rm MN}}^2\), \({\overline{\rm NO}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다.
다음으로 \(\overline{\rm MN}\), \(\overline{\rm NO}\)이 두 변의 길이가 되는 직사각형의 넓이가 유리수임을 보이자.
가정에 의해서 \(\overline{\rm DE}\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으므로, \(\overline{\rm EF}\)도 \(\overline{\rm EK}\)와 같은 단위로 측정할 수 있고, [X권 명제 12] 그리고 유리수이다 그러므로 (직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이) 즉, (직사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)는 유리수이다. [X권 명제 19] 그리고 (직사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)\(=\overline{\rm MN}\cdot\overline{\rm NO}\)이다.
그런데 제곱근 평균인 두 선분에 대하여, 단지 각각 길이를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 이들 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이는 유리수이고, 두 선분을 더한 전체 길이는 무리수이면, 직사각형 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 첫 번째 네제곱근 평균이다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 71]에서 사용된다.
이 명제를 대수적으로 표현하면 다음과 같다. \(k\)는 양의 정수, \(\rho\)는 유리수, \(\lambda\)는 \(0<\lambda <1\)인 유리수이다.
\(\overline{\rm AB}=\rho\), \(\displaystyle\overline{\rm AD}=\frac{k\rho}{\sqrt{1-{\lambda}^2}}+k\rho\)
\(\displaystyle\overline{\rm AE}=\frac{k\rho}{\sqrt{1-{\lambda}^2}}\), \(\overline{\rm ED}=k\rho\),
\(\displaystyle\overline{\rm AG}=\rho\sqrt{\frac{k}{2}\sqrt{\frac{1+\lambda}{1-\lambda}}}\), \(\displaystyle\overline{\rm GE}=\rho\sqrt{\frac{k}{2}\sqrt{\frac{1-\lambda}{1+\lambda}}}\)