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증명
길이가 네제곱근 평균인 선분 \(\rm AB\)에서 길이가 네제곱근 평균인 선분 \(\rm BC\)를 뺏다. \(\overline{\rm AB}\),
\(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고,
\(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이라 하자. [X권 명제 28] 그러면 \(\overline{\rm AC}\)는
무리수임을 보이자. 이 선분을 ‘네제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분’이라 하자.
유리수 \(\overline{\rm DI}\)에 대하여, (직사각형 \(\rm DIEG\) 넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)이고 한
변이 \(\rm DI\)인 직사각형 \(\rm DIEG\)를 작도하자. 그러면 나머지 다른 한 변은 \(\rm DG\)이다.
그리고 (직사각형 \(\rm DIHF\) 넓이)\(=\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)이고 한 변이 \(\rm DI\)인 직사각형 \(\rm
DIHF\)를 작도하자. 그러면 나머지 다른 한 변은 \(\rm DF\)이다. 그러면 (직사각형 \(\rm FHEC\) 넓이)\(={\overline{\rm
AC}}^2\)이다. [II권 명제 7]
\({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\)는 네제곱근 평균이며 같은 단위로 측정할 수 없으므로 (직사각형 \(\rm
DIEG\) 넓이)도 네제곱근 평균이다. [X권 명제 15, 23 따름 명제] (직사각형 \(\rm DIEG\) 넓이)\(=\overline{\rm
DI}\cdot\overline{\rm DG}={\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)이고 \(\overline{\rm DI}\)가 유리수이므로
\(\overline{\rm DG}\)도 유리수이며 \(\overline{\rm DI}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
\(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이므로, \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)도
네제곱근 평균이다. [X권 명제 23 따름 명제] 또한 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}=\)(직사각형 \(\rm DIHF\)
넓이)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm DIHF\) 넓이)도 네제곱근 평균이다. 또한 \(\overline{\rm DI}\)가 유리수이므로
\(\overline{\rm DF}\)도 유리수이며 \(\overline{\rm DF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
\(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할
수 있으므로, \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)도 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \({\overline{\rm
AB}}^2\)은 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.
그런데 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 같은 단위로 측정할 수 있고, [X권 명제
15] \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수
있으므로 [X권 명제 6] \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)은 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)와
같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
\({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2=\)(직사각형 \(\rm DIEG\) 넓이)이고 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm
BC}=\)(직사각형 \(\rm DIHF\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm DIEG\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm DIHF\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수
없다. 그런데 (직사각형 \(\rm DIEG\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm DIHF\) 넓이)\(=\overline{\rm DG}:\overline{\rm DF}\)이다.
[VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm DG}\)와 \(\overline{\rm DF}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그리고 \(\overline{\rm DG}\)와 \(\overline{\rm DF}\) 모두 유리수이고, 단지 \({\overline{\rm DG}}^2\)와 \({\overline{\rm
DF}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73]
그런데 \(\overline{\rm DI}\)는 유리수이다. 길이가 유리수이고 길이가 무리수인 두 선분으로 만든 직사각형 넓이는 무리수이다.
[X권 명제 20 중에 증명됨] 그러므로 이것과 넓이가 같은 정삭가형의 변의 길이는 무리수이다. 그런데 \(\overline{\rm AC}\)가
넓이가 (직사각형 \(\rm FHEG\) 넓이)인 정사각형의 변이다. 그러므로 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. 이 선분을 ‘네제곱근
평균을 뺀 두 번째 선분’이라 하자.
Q.E.D.
